129. Экстремальные свойства собственных значений и функций.

Мы можем совершенно так же, как и в [88], выяснить экстремальные свойства собственных значений и собственных функций Как мы видели, это суть собственные значения и собственные функции интегрального уравнения (233) с симметричным ядром, обладающим, согласно (234), слабой полярностью. Мы считаем, что собственные значения (они - положительны) расположены в неубывающем порядке, т. е.

. Мы знаем, что есть наименьшее значение интеграла:

в классе непрерывных функций удовлетворяющих условию

и это наименьшее значение достигается при . Значки указывают на точку, которая является переменной тегрирования. Порядок интегрирования в интеграле (246) в от ношении точек Р и Q — безразличен

Для получения следующих собственных значений и функций надо добавлять условия ортогональности:

Вводя класс А функций, представимых через ядро,

где — любая непрерывная в функция, мы можем указанную выше задачу сформулировать как задачу на минимум интеграла

в упомянутом выше классе А функций

Этот класс функций есть класс обобщенных решений уравнения Пуассона

равных нулю на S, при любых непрерывных в функциях и окончательно мы можем говорить о минимуме интеграла

в классе А, где обобщенный оператор Лапласа. Указан выше условия ортогональности, как и в [88], сводятся к условиям ортогональности для :

Функции класса А имеют внутри непрерывные производные первого порядка, и, повторяя дословно рассуждения из [128], мы докажем, что v(Р) имеет на S правильную нормальную производную.

Определим теперь класс функций являющийся частью класса А. Класс есть множество функций обладающих следующими свойствами: функции непрерывны в замкнутой области и равны нулю на S, внутри эти функции имеют непрерывные производные до второго порядка, причем их оператор Лапласа непрерывен вплоть до S. К классу принадле все собственные функции Если принадлежит классу то мы можем применить к интегралу (247) формулу Грина, и, принимая во внимание, что на S, можем вместо интеграла (247) написать интеграл

Таким образом, мы можем утверждать, что есть наименьшее значение этого интеграла в классе при условии

и это наименьшее значение достигается при . Для получения следующих собственных значений и функций надо добавлять упомянутые выше условия ортогональности (248) к уже найденным собственным функциям. Можно показать, что формула Грина

где обобщенный оператор Лапласа, имеет место для любой функции v из класса А.

Таким образом, указанные выше экстремальные свойства собственных значений и собственных функций имеют место и для всего класса А. В [150] мы покажем, что эти экстремальные свойства имеют место и в гораздо более широком классе функций. Обратим внимание, что в [143] и далее мы записываем спектральную задачу в виде и соответствующие ей Я, для которых называем собственными значениями L при первом краевом условии.