75. Приведение к интегральному уравнению.

Рассмотрим неоднородное уравнение

где заданная, непрерывная в промежутке функция. Будем искать решение уравнения (8), удовлетворяющее предельным условиям (2). Такое решение может быть только одно, так как если бы их было два, то их разность удовлетворяла бы однородному уравнению и предельным условиям (2), т. е. было бы собственным значением. Проверим, что единственное решение уравнения (8), удовлетворяющее предельным условиям (2), дается формулой

Аналог этой формулы, который был указан в имел тот простой механический смысл, что, зная статический прогиб от сосредоточенной силы, мы могли путем интегрирования полу» чить статический прогиб и при непрерывно распределенной силе.

Перейдем к доказательству того, что функция, определяемая формулой (9), удовлетворяет (8) и предельным условиям Принимая во внимание указанный выше разрыв функции Грина, разобьем промежуток интегрирования на два:

Дифференцируя по найдем

или, в силу непрерывности функции Грина, т. е. в силу :

Из формул (9) и (10) и того факта, что удовлетворяет предельным условиям (2), непосредственно вытекает, что и функция (9) удовлетворяет этим предельным условиям. Для проверки уравнения (8) дифференцируем у еще один раз по . После несложных преобразований получим

и из (5) вытекает

Подставляя в левую часть (8) вместо у, у и их выражения (9), (10) и (11), получим

т. е. уравнение (8) удовлетворено, ибо функция является решением однородного уравнения Отметим еще, что из написанных выше формул непосредственно вытекает, что функция у, определяемая формулой (9), имеет во всем промежутке непрерывные производные до второго порядка. Мы приходим, таким образом, к следующему утверждению: Если не есть собственное значение дифференциального уравнения (8), то это уравнение при любой заданной непрерывной в функции имеет единственное решение, удовлетворяющее предельным условиям (2), и это решение определяется формулой (9). Можно еще сказать иначе: При любой заданной

непрерывной функции функция (9) имеет непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяет уравнению (8) и предельным условиям (2).

Заметим, что если есть любая функция, имеющая непрерывные производные до второго порядка в промежутке и удовлетворяющая предельным условиям (2), то мы можем, подставляя эту функцию в левую часть уравнения (8), построить соответствующую непрерывную функцию и при этом, согласно доказанному выше, функция будет выражаться через по формуле (9).

Таким образом, формулы (8) и (9) устанавливают взаимнооднозначное соответствие между функциями двух классов: к первому принадлежат функции имеющие в промежутке непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяющие условиям (2), а ко второму — функции непрерывные в промежутке . Переход от осуществляется с помощью формулы (8), а от по формуле (9).

Из сказанного выше непосредственно вытекает возможность приведения предельной задачи, сформулированной в начале предыдущего параграфа, к интегральному уравнению. Действительно, переписав уравнение (1) в форме

мы из установленных выше результатов непосредственно получаем, что это уравнение с предельным условием (2) равносильно интегральному уравнению

Совершенно так же неоднородное уравнение

с предельным условием (2) равносильно интегральному уравнению

где

причем в обоих интегральных уравнениях мы должны искать непрерывное решение