73. Примеры.
1. Рассмотрим систему уравнений, которой определяются вещественная и мнимая части аналитической функции
:
Мы имеем
и остальные
равны нулю. Левая часть уравнения (6) при замене на
имеет вид
и, следовательно, система (91) имеет эллиптический тип. Принимая во внимание отмеченную выше связь этой системы с аналитическими функциями, можем утверждать, что всякое ее решение снепрерывными производными первого порядка есть аналитическая функция
2. Рассмотрим систему (Перрон (Perron)-Math. Z, 1927, 27, № 4)
где a — постоянная.
Левая часть уравнения (6) при замене - на а имеет вид
и, следовательно, система — эллиптического типа при
и параболического при
Уравнение (85), если написать систему в форме, решенной относительно частных производных по
имеет вид
и при
оно имеет вещественные, различные корни, т. е. система гиперболическая при
Положим сначала, что
Поступая, как указано в [72], вводим вместо
новые функции:
и получаем два раздельных уравнения для
После введения новых независимых переменных:
система переписывается в виде
Найдем то решение системы (95), которое удовлетворяет начальному уело
Пользуясь (95), получаем
В исходных независимых переменных:
и согласно формулам (93) сможем определить
, которые являются решением системы (92) и удовлетворяют начальным условиям:
Такое решение, очевидно, единственно.
При
система (92) принимает вид
и мы получаем ее единственное решение, удовлетворяющее условиям (96):
причем мы должны предположить, что
имеет непрерывную производную второго порядка.
Рассмотрим, наконец, тот случай, когда а
Полагая
переписываем систему (92) в виде
Отсюда видно, что
должна быть регулярной функцией
и, в силу (96) и (97) эта функция при
должна стремиться к вещественной функции