73. Примеры.
1. Рассмотрим систему уравнений, которой определяются вещественная и мнимая части аналитической функции 
:
Мы имеем
и остальные 
равны нулю. Левая часть уравнения (6) при замене на 
имеет вид 
и, следовательно, система (91) имеет эллиптический тип. Принимая во внимание отмеченную выше связь этой системы с аналитическими функциями, можем утверждать, что всякое ее решение снепрерывными производными первого порядка есть аналитическая функция 
2. Рассмотрим систему (Перрон (Perron)-Math. Z, 1927, 27, № 4)
где a — постоянная.
Левая часть уравнения (6) при замене - на а имеет вид 
и, следовательно, система — эллиптического типа при 
и параболического при 
Уравнение (85), если написать систему в форме, решенной относительно частных производных по 
имеет вид
и при 
оно имеет вещественные, различные корни, т. е. система гиперболическая при 
Положим сначала, что 
Поступая, как указано в [72], вводим вместо 
новые функции:
и получаем два раздельных уравнения для 
После введения новых независимых переменных:
система переписывается в виде
Найдем то решение системы (95), которое удовлетворяет начальному уело
Пользуясь (95), получаем
В исходных независимых переменных:
и согласно формулам (93) сможем определить 
, которые являются решением системы (92) и удовлетворяют начальным условиям:
Такое решение, очевидно, единственно.
При 
система (92) принимает вид
и мы получаем ее единственное решение, удовлетворяющее условиям (96):
причем мы должны предположить, что 
имеет непрерывную производную второго порядка.
Рассмотрим, наконец, тот случай, когда а 
Полагая
переписываем систему (92) в виде
Отсюда видно, что 
должна быть регулярной функцией 
и, в силу (96) и (97) эта функция при 
должна стремиться к вещественной функции
самой этой прямой 
. Тем самым функция (98), а потому и 
должны быть аналитическими функциями при вещественных у Разлагая функцию (98) по степеням 
, где 
какое либо вещественное число
Зная 
, найдем 
согласно (97),