120. Исследование граничных значений.

Пока мы не делали никаких предположений о границе области В. Наложим теперь некоторое условие, в формулировке которого будет фигурировать некоторая фиксированная точка границы области В. Множество граничных точек области В будем обозначать буквой l.

Условие I. Существует непрерывная в В и супергармоническая внутри В функция такая, что остальных точках S. Докажем теперь следующую теорему:

Теорема. Если выполнено указанное условие граничная функция непрерывна в точке то стремится к при стремлении М к точке изнутри области.

Обозначим через множество тех точек области В, расстояние которых до не превышает Пусть е — заданное положительное число. В силу непрерывности в точке существует такое положительное число что для всех точек границы В, принадлежащих выполняется неравенство

Построим непрерывную в Я и субгармоническую внутри В функцию

где С — некоторая положительная постоянная, которую мы сейчас выберем. В силу (180) и мы имеем в точках принадлежащих Выберем С настолько большим, чтобы вне мы имели то же самое неравенство в точках т. е.

Во всех точках S, расстояние которых до не меньше функция достигает наименьшего положительного значения, которое мы обозначим через . Это непосредственно следует из того, что указанные точки образуют замкнутое множество, и функция непрерывна и положительна на этом множестве Для выполнения неравенства (182) достаточно взять

где а — число, фигурирующее в неравенстве (177). При таком выборе С функция (181) будет нижней функцией. Точно так же при достаточно большом С функция

будет верхней функцией. Из следует:

и, в силу непрерывности в Б, найдется такое малое положительное что в

Пусть — любая верхняя функция. Мы имеем для всех точек М, принадлежащих В: и, следовательно, из последнего неравенства следует:

Точная нижняя граница также должна удовлетворять этому неравенству, т. е.

Точно так же из (183) следует:

и, следовательно, в силу непрерывности существует такое малое положительное , что в мы имеем

и тем более

Пусть — наименьшее из чисел и . В силу (184) и (185), мы имеем

Ввиду произвола в выборе , отсюда следует, что стремится к при изнутри области, и теорема доказана. Доказательство годится как в двумерном, так и в трехмерном случае. Если непрерывна в каждой точке границы и в каждой точке выполняется условие I, то функция непрерывна в замкнутой области В и принимает в граничных точках значения

Определение. Если при любом выборе непрерывной на I функции функция стремится к при то точка называется регулярной точкой границы. Точки

границы, не обладающие этим свойством, называются иррегулярными точками границы.

Из доказанной выше теоремы следует, что условие I есть достаточное условие регулярности точки

Укажем теперь для трехмерного случая простое достаточное условие геометрического характера регулярности точки границы. Положим, что точка границы обладает следующим свойством: существует сфера, которая не содержит никаких точек В, кроме точки . Пусть центр этой сферы и R — ее радиус. Обозначая через расстояние построим функцию

Эта функция удовлетворяет, очевидно, всем требованиям условия 1, причем внутри В она — гармоническая.

Рис. 14.

Рассмотрим теперь плоский случай, и пусть граница В состоит из конечного числа простых замкнутых кривых, имеющих уравнения: где непрерывные периодические функции параметра t (рис. 14). Положим сначала, что точка находится на внешнем контуре (рис. 14). Поместим в нее начало координат и выберем масштаб так, чтобы область В помещалась внутри круга Составим функцию

Когда двигается в не может обойти вокруг начала, и есть однозначная в В функция, регулярная внутри В и непрерывная в В, причем .

Полагая , получим для вещественной части выражение

причем . Эта гармоническая функция удовлетворяет всем указанным выше условиям.

В частности, вне мы имеем

где — наибольшее значение в В и R — наибольшее расстояние от начала до точек В.

Положим теперь, что лежит на внутреннем контуре . Выбираем внутри какую-либо точку а и совершаем конформное

преобразование плоскости:

Контур переходит во внешний контур, и мы для рассматриваемой точки можем построить функцию указанным выше способом. Переходя к прежней переменной z, получаем требуемую функцию. Таким образом, если - непрерывна во всех точках рассмотренного контура то будет непрерывна вплоть до контура и на контуре равна

Положим теперь, что есть точка разрыва причем при стремлении N к вдоль контура с обеих сторон имеет пределы, но эти пределы различны (разрыв первого рода). Обозначим их через и пусть . Рассуждая совершенно так же, как и выше, получим вместо (184)

и вместо (185)

При стремлении М к изнутри области В функция может иметь различные пределы. Но для любого из этих пределов мы имеем, в силу предыдущих неравенств и произвольности

Если ограниченная функция, т. е. удовлетворяет условиям (177), то и функция , как мы видели, удовлетворяет этому условию. Таким образом, есть ограниченная гармоническая функция, принимающая предельные значения во всех точках непрерывности этой функции.

Вернемся к трехмерному случаю. Можно построить сравнительно простую замкнутую поверхность, имеющую иррегулярные точки. Это обстоятельство было открыто Лебегом и затем, независимо от него, П. С. Урысоном. Более подробное выяснение вопроса о предельных значениях можно найти в статье М. В. Келдыша (УМН, 1941, 8).

Приведем еще пример в случае плоскости. Пусть В — круг с центром в начале координат и с исключенным центром. Множество граничных точек состоит из окружности круга и его центра. Пусть на окружности и в центре. Такая функция непрерывна на Гармоническая функция стремится, очевидно, к нулю при приближении М к точкам окружности. Покажем, что не может стремиться к единице при приближении к центру. Если бы это было так, то

была бы гармонической внутри всего круга, если принять ее значение в центре равным единице [105]. Но это противоречит теореме о среднем значении гармонической функции в центре круга. Таким образом, начало координат — иррегулярная точка границы.

Нетрудно показать, что в рассматриваемом случае . Действительно, ограничена, а потому имеет предел при стремлении М к центру [105], и если принять этот предел равным значению в центре, то гармоническая везде внутри круга [105] и равна нулю на окружности, т. е. и

Отметим еще, что вместо условия I можно поставить условие регулярности, которое касается только окрестности точки причем можно показать, что это новое условие равносильно условию I.

Условие II. Для некоторой окрестности точки существует функция непрерывная в вплоть до границы, супергармоническая внутри и такая, что остальных точках

Можно показать, что в трехмерном случае точка удовлетворяет условию II, если эта точка является вершиной кругового конуса, все точки которого, достаточно близкие к лежат вне В (кроме точки ). Таким образом, такие точки регулярны. (См. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961.)

В дальнейшем мы будем всегда считать, если не будет соответствующих оговорок, что контуры или поверхности, ограничивающие области, о которых будет идти речь, таковы, что все их точки суть регулярные точки. Таковыми будут, например, поверхности Ляпунова. Для них мы построили решение задачи Дирихле при помощи теории потенциала и интегральных уравнений.

Если на границе задана непрерывная функция и все точки границы регулярны, то построенная гармоническая функция непрерывна вплоть до границы и на границе принимает значения Мы знаем, что может существовать только одна такая функция. Если на границе имеются нерегулярные точки, то гармоническая функция ограничена внутри области и принимает во всех регулярных точках границы значения . Можно показать, что может существовать только одна функция с такими свойствами. Доказательство этого утверждения и ряда других интересных фактов, в том числе критерия регулярности Винера, можно найти в упомянутой выше статье М. В. Келдыша.