142. Плоская статическая задача теории упругости.

Некоторые из предельных задач в плоском случае решаются с применением интеграла Коши. Это относится, например, к задаче Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений или к задачам конформного преобразования односвязной области на круг или многосвязнон области на области определенного типа (Крылов В. И. — Матем. сб., 1938, 4 (46), № 1). С помощью интеграла Коши эти задачи сводятся к иитегральным уравнениям Мы изложим применение этого метода к решению плоской статической задачи теории упругости (Мусхелишвили Н. И Некоторые задачи теории упругости). Если в качестве предельного условия мы имеем задание смещений на контуре области В, то решение статической задачи сводится к нахождению двух функций , регулярных в В и удовлетворяющих на контуре области предельному условию:

где k — некоторая вещественная постоянная и заданная на контуре l функция. Умножая обе части (387) на — где лежит вне l, и интегрируя по получим

где

известная вне l функция. Устремляя z на контур мы получим

где интегралы надо понимать в смысле главного значения. Для того, чтобы получить уравнение, содержащее обычные интегралы, напишем:

Умножая второе из написанных уравнений на t и складывая оба уравнения почленно с уравнением (388), получим

Наконец, производя в интеграле, содержащем , интегрирование по частям, получим

Если положить то предыдущее уравнение переписывается в виде

Отделяя вещественную и мнимую части, получим систему двух интегральных уравнений для значений вещественной и мнимой частей на . Решая эти уравнения, будем иметь на и по формуле Коши получим внутри . Для нахождения умножим обе части (387) на , где — внутри и проинтегрируем по

Изложенный метод приведения предельной задачи (387) к интегральному уравнению принадлежит Н. И. Мусхелишвили (ДАН СССР, 1934, 3, № 1). При составлении уравнения (389) мы считали, что задача имеет решение. Можно, пользуясь уравнением (389), установить теорему существования поставленной плоской статической задачи теории упругости не только в случае односвязной области, что мы предполагали выше, но и в случае многосвязной области .

Приведение плоской статической задачи теории упругости к интегральному уравнению было дано в. работе В. А. Фока (С. r. Acad. Sci. Paris, 1926, 182, p. 264).

В уравнении (390) О есть угол, образованный радиусом-вектором из фиксированной точки t контура l в переменную точку того же контура. Принимая это во внимание, нетрудно видеть, что однородное уравнение (390) имеет решение отличное от нулевого. То же самое можно сказать и об уравнении (389). Мы всегда можем считать, что находится внутри Из вида предельного условия (387) следует, что мы можем относить постоянное слагаемое из и можем считать . Отсюда следует:

складывая это уравнение с (389), получаем новое уравнение, уже не имеющее собственной функции.

Можно применить и другой метод при решении предельной задачи (387). Будем искать в виде

где - искомая на l функция. Подставляя в (387) и пользуясь свойствами интеграла типа Коши, получим интегральное уравнение для

В указанной выше работе Д И. Шермана рассмотрен случай многосвязной области и проведен анализ полученного интегрального уравнения.