141. Тензор Грина.
Пусть 
есть некоторая линейная операция над вектором 
, зависящим от (x,y,z), приводящая тоже к вектору. Рассмотрим уравнение
где f — заданный вектор, зависящий от 
. Разлагая левую и правую части на составляющие, получим систему трех уравнений для составляющих 
вектора 
. Положим, что на поверхности S области D имеется, кроме того, однородное предельное условие, например условие:
Под тензором Грина для 
с предельным условием (383) подразумевают матрицу
такую, что уравнение (382) с предельным условием (383) равносильно формуле
причем подынтегральное выражение представляет собою применение матрицы 
, как оператора, к вектору f, т. е. это подынтегральное выражение есть вектор с составляющими:
Каждый столбец тензора дает составляющие некоторого вектора 
который, за исключением точки Q, имеет непрерывные производные, удовлетворяет однородному уравнению (382) и предельному условию (383). Характер полярности в точке Q легко вытекает обычно из физического смысла задачи. Пользуясь тензором Грина, можно привести, как и выше, к системе интегральных уравнений задачу о собственных значениях и собственных векторах уравнения
при предельном условии (383).
Напишем основное уравнение теории упругости для вектора смещения 
:
Пользуясь формулой [II; 124]
мы можем написать для статического случая уравнение в виде
где
или, вводя обычные постоянные 
и 
Ламе, 
.
В безграничном пространстве сила, величины единица, действующая в точке 
параллельно оси Z, вызывает смещение с составляющими:
где
Аналогичные выражения для смещения мы имеем и в случае сил, параллельных осям X и Y. Тензор Грина в данном случае будет иметь вид
где
и
Вместо предельного условия (383) мы имеем в данном случае обращение в нуль в бесконечно далекой точке. Уравнение
имеет в данном случае решение (385) Тензор (386) называется обычно в теории упругости тензором смещения Сомильяна (Somigliana). Его можно записать в виде
где Е — единичная матрица и 
— тензор:
В работе Вейля указаны различные аналоги формулы Грина для урав нения (385), приведено построение тензора Грина для ограниченной области и с помощью этого тензора исследованы собственные значения уравнения
