141. Тензор Грина.

Пусть есть некоторая линейная операция над вектором , зависящим от (x,y,z), приводящая тоже к вектору. Рассмотрим уравнение

где f — заданный вектор, зависящий от . Разлагая левую и правую части на составляющие, получим систему трех уравнений для составляющих вектора . Положим, что на поверхности S области D имеется, кроме того, однородное предельное условие, например условие:

Под тензором Грина для с предельным условием (383) подразумевают матрицу

такую, что уравнение (382) с предельным условием (383) равносильно формуле

причем подынтегральное выражение представляет собою применение матрицы , как оператора, к вектору f, т. е. это подынтегральное выражение есть вектор с составляющими:

Каждый столбец тензора дает составляющие некоторого вектора который, за исключением точки Q, имеет непрерывные производные, удовлетворяет однородному уравнению (382) и предельному условию (383). Характер полярности в точке Q легко вытекает обычно из физического смысла задачи. Пользуясь тензором Грина, можно привести, как и выше, к системе интегральных уравнений задачу о собственных значениях и собственных векторах уравнения

при предельном условии (383).

Напишем основное уравнение теории упругости для вектора смещения :

Пользуясь формулой [II; 124]

мы можем написать для статического случая уравнение в виде

где

или, вводя обычные постоянные и Ламе, .

В безграничном пространстве сила, величины единица, действующая в точке параллельно оси Z, вызывает смещение с составляющими:

где

Аналогичные выражения для смещения мы имеем и в случае сил, параллельных осям X и Y. Тензор Грина в данном случае будет иметь вид

где

и

Вместо предельного условия (383) мы имеем в данном случае обращение в нуль в бесконечно далекой точке. Уравнение

имеет в данном случае решение (385) Тензор (386) называется обычно в теории упругости тензором смещения Сомильяна (Somigliana). Его можно записать в виде

где Е — единичная матрица и — тензор:

В работе Вейля указаны различные аналоги формулы Грина для урав нения (385), приведено построение тензора Грина для ограниченной области и с помощью этого тензора исследованы собственные значения уравнения