163. Метод Фурье для параболических уравнений.

Установим однозначную разрешимость первой начально-краевой задачи для параболических уравнений вида

Граничное условие будем считать однородным:

а начальное условие

определяемым функцией Пусть относительно коэф. фидиентов оператора М и области В выполнены условия

теоремы 2 [148]. В силу теоремы 1 из [150] спектральная задача

где — граница области В, имеет вещественный спектр который можно считать занумерованным в порядке убывания значений , причем при . Предположим, ради несущественных упрощений в записи, что Тогда все Я отрицательны. Будем считать также, что система всех собственных функций ортонормирована в т. е.

причем соответствует значению . В [150] доказано, что все принадлежат пространству и образуют базис в пространствах Кроме того, там же доказано, что в пространствах можно ввести новые скалярные произведения

и

соответственно, которым отвечают нормы эквивалентные исходным нормам пространств . В этих новых скалярных произведениях система собственных функций ортогональна, причем

а

Функции при любых числах являются решениями уравнения (126), удовлетворяющими краевому условию (127). Они и все их производные по t принадлежат при всех пространству . Уравнению (126) они удовлетворяют при всех для почти всех из В. Будем решение и задачи (126) — (128) искать в виде ряда

Формально, подставляя этот ряд в (128) и используя соотношения (130), мы найдем выражения для :

Наша дальнейшая цель состоит в том, чтобы исследовать характер сходимости ряда

и убедиться, что он дает обобщенное решение задачи (126) — (128) из такого класса, в котором есть теорема единственности. Во-первых, легко видеть, что ряд (133) сходится в равномерно относительно . Действительно, при любых тира

причем числовой ряд сходится и его сумма равна Следовательно, сумма и ряда (133) при любом есть элемент непрерывно зависящий от в норме Последнее означает, что При ряд (133) сходится к в норме и потому при Покажем, что при ряд (133) сходится в норме пространства равномерно относительно где — любое положительное число. Действительно, в силу (132)

Но при функции при всех к не превосходят некоторого числа зависящего лишь от . Поэтому при

Но это и доказывает желаемую сходимость ряда (133) Из нее следует, что сумма и ряда (133) есть элемент непрерывно зависящий от t в норме этого пространства при .

Почленное дифференцирование ряда (133) по t дает ряд

который сходится в норме и даже в норме равномерно по t при где — произвольное положительное число. Доказывается это так же, как и выше, с учетом того, что функции полупрямой не превосходят некоторого числа , зависящего лишь от . Такая сходимость ряда (134) гарантирует принадлежность его суммы к при всех и то, что эта сумма есть обобщенная производная по t суммы ряда (133) в областях Из всего сказанного следует, что сумма ряда (133) есть обобщенное решение задачи (126) — (128) в области из класса элементы которого обладают следующими свойствами: они суть элементы непрерывно зависящие от в норме они имеют обобщенную производную причем являются элементами непрерывно зависящими от . Сумма ряда (133) при любом и почти всех из В удовлетворяет уравнению (126). Граничному условию (127) она удовлетворяет в том смысле, что при является элементом . Начальное же условие выполняется «в среднем»:

Покажем, что в таком классе задача (126) — (128) не может иметь двух разных решений. Одно из них, определенное формулой (133), мы уже нашли. Пусть есть другое обобщенное решение задачи (126) — (128) из класса . Тогда их разность есть обобщенное решение из того же класса однородной задачи т. е. задачи

В области это решение обладает той гладкостью, которая требовалась при выводе энергетического неравенства (124), следовательно, для него справедливы оценки

при любом . Устремляя в этом неравенстве к нулю и используя то, что при убедимся, что . Теорема единственности доказана.

Если на наложить дополнительные условия, то ряд (133) будет сходиться лучше, и его сумма будет обладать лучшими дифференциальными свойствами. Например, если

, то ряд (133) сходится в норме равномерно относительно и его сумма, тем самым, будет элементом непрерывно зависящим от t в норме при всех .

Действительно, благодаря (131) и (129)

и

т. е. ряд (133) сходится в норме равномерно относительно Покажем, что при ряды, полученные двукратным почленным дифференцированием ряда (133) по , сходятся в норме где любое конечное число. Это так, ибо

при . Это же неравенство гарантирует и сходимость ряда (134) в Наконец, из того факта, что система образует базис в пространстве следует, что при ряд (133) сходится в норме равномерно от носительно и его сумма есть элемент непрерывно зависящий от в норме . Ряд (134) при этом будет сходиться в норме равномерно относительно и его сумма будет элементом непрерывно зависящим от в норме

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения (126) и область В удовлетворяют условиям теоремы . Тогда решение задачи (126) — (128) дается рядом

(133), который сходится в равномерно относительно при он сходится в норме равномерно относительно , где — произвольное положительное число. Ряд, полученный почленным дифференцированием ряда (133) по t, сходится в при равномерно относительно . Сумма ряда (133) есть обобщенное решение задачи из класса любым , причем в этом классе имеет место теорема единственности. Если то ряд (133) сходится равномерно по , а ряды, полученные его почленным дифференцированием один раз по t или два раза по сходятся в норме . Наконец, при сходится в норме а ряд (134) в норме равномерно относительно .

Рассмотрим еще задачу

где L — то же, что и в . Ей формально удовлетворяет сумма ряда

где Покажем, что ряд (138) и ряды, в полученные его почленным дифференцированием по один и два раза сходятся в норме так что сумма ряда и ее производные будут элементами . Для этого достаточно убедиться, что

стремится к нулю при . Это верно, ибо благодаря (132)

а для функций из верны равенства

Из этой оценки следует также, что ряд, полученный почленным дифференцированием ряда (133) по t, сходится в Так как конечные суммы

удовлетворяют (при почти всех из ) уравнению сходится к в норме то сумма ряда (138) будет при почти всех из удовлетворять уравнению (137). Чтобы проверить выполнение начального и граничного условия из (137), убедимся, что ряд (138) сходится в норме при любом Действительно, используя те же соображения, что и при оценке , получим

Отсюда ясно, что при любом сумма есть элемент

Тем самым мы доказали теорему:

Теорема 2. Если относительно L и В выполнены предположения теоремы , то решение задачи (137) в дается рядом (138). Этот ряд и ряды, полученные его почленным дифференцированием один раз по t и и два раза по сходятся в норме . Сумма ряда (138) при почти всех удовлетворяет уравнению (137), при любом она есть элемент и при

Заметим, что решения второй и третьей начально-краевых задач для уравнения определяются рядами вида (133) и (138), только в качестве в них надо брать собственные функции L, отвечающие соответствующему краевому условию.