71. Характеристики и большие частоты.

Существует связь между теми формулами, которые мы получили выше при изложении теорйи характеристик систем уравнений, и теми формулами, которые получаются, если пытаться приближенно удовлетворить системе дифференциальных уравнений функциями специального тина. Пусть имеется система уравнений второго порядка:

Будем пытаться удовлетворить этой системе, задавая функции в виде

где — некоторые искомые функции независимых переменных и — число Подставляя выражения (69) в уравнение (68) и оставляя лишь члены, содержащие квадрат числа , мы придем к следующей системе уравнений;

Будем рассматривать эту систему как систему однородных уравнений относительно Чтобы получить решение, отличное от нулевого, мы должны при равнять нулю определитель этой системы. Таким образом, мы приходим к уравнению первого порядка для искомой функции Ф:

которое совпадает с уравнением для характеристических поверхностей. Взяв какое-нибудь решение этого уравнения, мы сможем определить вообще говоря, с точностью до произвольного множителя из системы (70). Эта система совпадает с системой (21), которую мы имели для определения коэффициентов прерывности . Уравнения этой последней системы должны были иметь место лишь на поверхности волны Уравнения (70) должны иметь место везде. Но при это мы лишь приближенно удовлетворили системе (68) функциями вида (69). В данном случае суть поверхности одинаковых фаз

Рассмотрим более подробно случай одного волнового уравнения:

и будем искать его решение в виде гармонического колебания частоты по отношению ко времени

где — искомые функции только координат . Дело сводится - к подстановке выражения

в уравнение

Мы имеем

Аналогичные формулы получатся и для производных по у и . Подставляя в уравнение (73) и приравнивая нулю коэффициент при получим уравнение для Ф.

Приравнивая еще нулю коэффициент при получим уравнение, в которое будет входить амплитуда решения (72):

или

Легко установить связь уравнения (74) с уравнением характеристических поверхностей. Для уравнения (71) мы имеем следующее уравнение характеристических поверхностей:

и подставляя , мы и получим уравнение (74). Обозначая через единичный вектор нормали в некоторой точке М к поверхности одинаковых фаз, проходящей через эту точку, мы. можем написать

где — длина вектора в точке . Уравнение (73) при этом может быть записано в виде

где проекция на направление Уравнения (74) и (76) должны иметь место во всем пространстве Но мы удовлетворили уравнению (71) только приближенно.

Совершенно так же, если мы в уравнения Максвелла (36) подставим

где — векторы, Ф — скалярная функция, зависящие от и ( — число, то мы получим, собирая члены, содержащие множитель

Это уравнение совпадает, по существу, с уравнением (46) из [69]. Совершенно так же получится и уравнение, аналогичное уравнению (47) Уравнение (78) должно иметь место не только на поверхности и эта последняя поверхность не есть поверхность разрыва, а поверхность одинаковых фаз в решении (77).