127. Собственные значения и собственные функции.

Доказанное выше основное свойство функции Грина в отношении неоднородного уравнения (220) лежит в основе применения функции Грина к решению предельной задачи для уравнения

при предельном условии

а это связано с решением предельных задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности, о чем будет подробнее сказано позже.

Перенося направо, мы докажем, как и в [75], что поставленная задача (231), (232) равносильна интегральному уравнению

с симметричным ядром. Ядро этого уравнения обращается в бесконечность при совпадении Р и Q, но к нему применима вся теория из ибо, в силу (196), полярность ядра имеет порядок

где - ограниченная функция.

Представим уравнение (233) в виде

Если есть непрерывное решение этого уравнения, то первое слагаемое правой части имеет, как потенциал масс, распределенных по с непрерывной плотностью, непрерывные первые производные внутри а второе слагаемое правой части имеет внутри , как мы видели выше, непрерывные производные любого порядка, и, следовательно, имеет непрерывные производные первого порядка внутри . Но при этом, как мы знаем [II; 211], первое слагаемое правой части имеет внутри непрерывные производные до второго порядка. Тем самым, в силу сказанного выше, и имеет непрерывные производные второго порядка. Применяя к обеим частям (235) оператор убедимся, что Предельное условие (232) тоже удовлетворяется, как это мы видели в [126]. Наоборот, из (231) и (232), как мы видели в [126], следует уравнение (233). Таким образом, мы показали равносильность уравнения (231) с предельным условием (232) интегральному уравнению (233). Для ядра этого интегрального уравнения мы имеем (234), откуда непосредственно следует неравенство

где С — некоторая постоянная.

Пусть — собственные значения и собственные функции уравнения (233) или, что то же, задачи (231), (232):

Можно считать, что образуют в ортогональную нормированную систему:

Пусть функция и ее производные до второго порядка непрерывны в вплоть до S, и пусть эта функция удовлетворяет условию (232). Мы можем представить ее в виде [126]

и, применяя основную теорему разложения из мы можем утверждать, что разлагается в ряд Фурье по собственным функциям:

причем этот ряд регулярно сходится в замкнутой области . Коэффициенты определяются обычным образом:

Таким образом, мы имеем

Теорема Всякая функция непрерывная, с непрерывными производными до второго порядка в замкнутой области и удовлетворяющая условию (232), разлагается в ряд Фурье по собственным функциям регулярно сходящийся в замкнутой области

Дальше мы покажем, что число собственных значений бесконечно. Мы это использовали при записи ряда (240). Из равномерной сходимости ряда (240) следует, что если удовлетворяет указанным в теореме условиям, то имеет место уравнение замкнутости.

В дальнейшем мы докажем, что это уравнение справедливо и для любой непрерывной в замкнутой области функции. Нетрудно показать, что если ряд Фурье

некоторой непрерывной в замкнутой области D, функции равномерно сходится в , то его сумма равна . Обозначая через сумму ряда (243), рассмотрим функцию непрерывную в D, и ортогональную ко всем собственным функциям . Тем самым она ортогональна и к ядру, т. е.

Отсюда видно, что обобщенное решение уравнения

при условии (232) есть и, следовательно, совпадает с .

Из последних рассуждений непосредственно следует, что ядро полное ядро (ср. [77]), и тем самым имеется бесчисленное множество собственных значений Покажем теперь, что уравнение замкнутости (242) имеет место для любой непрерывной в функции Такая функция обязательно ограничена, т. е. существует такое положительное число М, что . Пусть — заданное положительное число. Выберем замкнутую область лежащую внутри так, чтобы объем был меньше Проведем внутри замкнутую поверхность S, содержащую внутри себя, и определим функцию так, чтобы она была равна в замкнутой области и равна нулю на и вне S. Эту функцию можно распространить на все пространство так, что она будет непрерывной и будет удовлетворять неравенству Пусть средние функции для . Они имеют производные всех порядков, при всех достаточно больших значениях , равны нулю на поверхности S и удовлетворяют неравенству . Функции равномерно в стремятся к и мы можем фиксировать настолько большое , чтобы иметь

Для функций мы имеем, в силу сказанного выше, уравнение замкнутости, т. е. существует такое число N, что

где — отрезок ряда Фурье функции . Принимая во внимание неравенство можем написать:

Мы имеем далее

Для последнего интеграла мы используем неравенство

и получаем

после чего предыдущие неравенства дают

и тем более

откуда, ввиду произвольности , и следует уравнение замкнутости для

Отметим еще что из следует, что ряд

является сходящимся рядом Нетрудно дрказаггъ уравнение замкнутости и для неограниченных функций указанного в типа и, в частности, для функции Грина .