146. Пространство ... и второе основное неравенство.

Докажем предварительно неравенство

Оно справедливо для любой функции v, принадлежащей т. е. v из имеющей обобщенные производные первого порядка, суммируемые по D. Граница области D должна обладать некоторой регулярностью, например принадлежать классу СК Неравенство (428) справедливо и для более широкого класса областей: для областей с липшицевыми границами. Мы не будем давать их точного определения, но из приводимого ниже вывода нетрудно усмотреть, какие свойства S достаточны для справедливости (428). Неравенство (428) потребуется нам лишь для функций v, принадлежащих Поэтому мы ограничимся его доказательством лишь для таких v. Из этого факта и плотности следует справедливость (428) для любой Возьмем в произвольной точке местную декартову систему координат и кусок поверхности S, имеющий уравнение

Пусть таково, что область принадлежит D. Функцию будем считать не прерывно дифференцируемой в Функцию v, принадлежащую рассмотрим как функцию координат в В силу теоремы Ньютона — Лейбница

Возьмем от обеих частей (429) модули, результат умножим на и проинтегрируем по . Это и элементарные оценки дают следующие соотношения:

для . Постоянная есть мажоранта для Проинтегрируем теперь неравенство

(430) по в пределах от 0 до и результат умножим на В правой части появится интеграл

который не превосходит Таким образом мы приходим к неравенству

Предполагая, что поверхность S можно покрыть конечным числом кусков типа мы придем к неравенству (428), суммируя (431) по всем таким кускам.

Определим теперь пространство Оно есть замкнутое подпространство гильбертова пространства которое определено в . Напомним, что состоит из всех квадратично суммируемых по D функций, имеющих квадратично суммируемые по производные до второго порядка. Скалярное произведение в определяется так:

где является полным гильбертовым пространством. Норму в нем будем обозначать а иногда, короче,

Подпространство состоит из тех элементов которые обращаются в нуль на границе S области D. При «хороших» границах S в плотно множество функций из равных нулю на S. Чтобы не доказывать этот важный для нас факт, определим иначе: есть замыкание в норме множества С(D) функций и равных нулю на S. (Мы ввели здесь обозначение ; не следует его смешивать с обозначением множества всех дважды непрерывно дифференцируемых

функций, имеющих компактные носители, лежащие в D. Элементы равны нулю не только на S, но и в ее окрестности.) есть полное гильбертово пространство с тем же скалярным произведением, что и в Для гладких (и даже липшицевых) границ S множество принадлежит множеству Мы предоставляем читателю доказать это утверждение самостоятельно.

Теперь мы переходим к получению оценки нормы в решений и задачи (403) через нормы и и f в Для этого, помимо усдовий (413) о коэффициентах L, будем считать, что а, имеют ограниченные об. производные первого порядка, т. е.

Кроме того, предположим, что S принадлежит классу допустимых ослаблениях этого условия см. замечание в конце данного пункта). Эта оценка есть следствие неравенства

справедливого для любой функции . Оно и называется вторым основным неравенством для эллиптических операторов Постоянная в нем определяется некоторыми характеристиками границы области D и постоянными и из условий (413), (433). Неравенство (434) достаточно доказать лишь для и ибо плотно в Действительно, любое и из можно аппроксимировать в норме функциями из Пусть (434) верно для всех . В силу указанной сходимости к и в (434), взятом для можно Перейти к пределу по и Получить (434) для . Итак, пусть и . Рассмотрим и оценим его снизу следующим образом:

Здесь и ниже, если не оговорено противное, по повторяющимся днажды индексам подразумевается суммирование от 1 до — произвольное число из интервала (0, 1), а постоянная , так же, как и вводимые ниже постоянные С, определяются числовыми параметрами из условий (413), (433), и возможно, областью D. Преобразуем интеграл с помощью двукратного интегрирования по частям (см. (107 [48]) к виду

где

Из (436) следует неравенство

в котором использовано следующее сокращенное обозначение

Покажем, что в силу (413) имеет место оценка

Для этого зафиксируем произвольную точку и введем в ее окрестности новые декартовы координаты: . Ортогональную матрицу выберем так, чтобы она приводила квадратичную форму к диагональному виду, т. е. чтобы

где собственные числа формы символ Кронекера. Тогда, учитывая условие (413) и закон преобразования при переходе к координатам получим

Но, как легко проверить, и поэтому неравенство (439) действительно имеет место для всех точек из D. Благодаря (437) и (439) из (435) следует неравенство

а из этого неравенства — неравенство

Здесь произвольное положительное число, — произвольное число из При и (440) примет вид

До сих пор мы не использовали обращение и в нуль на S. Покажем, что если воспользоваться этим условием, то интеграл

может быть преобразован к виду, не содержащему вторые производные и по . Этот факт является центральным при выводе неравенства (434). Чтобы доказать это, рассмотрим произвольную точку на поверхности и введем в ней местные декартовы координаты , т. е. такие, что ось направлена по внешней нормали к в точке и матрица -ортогональна. Пусть есть уравнение поверхности S в окрестности начала координат . По условию, функция . В силу ортогональности матрицы имеем , и потому . Рассмотрим выражение в точке и перейдем в нем к координатам у.

где

Используем теперь граничное условие . Вблизи точки , координаты которой равны нулю, это условие имеет вид

причем оно выполняется тождественно по вблизи . Продифференцируем это тождество по и учтем, что в точке точке это даст

Благодаря

При и произвольном q, а также при и произвольном члены, стоящие в круглой скобке (444) взаимно сокращаются, что вместе с (443) дает для представление

Будем считать, что координаты в касательной плоскости к S в точке выбраны так, что все смешанные

производные в точке равны нулю (этого, как известно, всегда можно добиться за счет ортогонального преобразования координат ). Тогда

В силу предположения: найдется такое неотрицательное число К, что

для всех точек поверхности S. Если, в частности, D есть выпуклая область, то в качестве К можно взять нуль. Из условия (413) следует, что и поэтому

Благодаря этому из неравенства (441) получаем

Для оценки граничного интеграла при воспользуемся неравенством (428), взяв в нем :

где — любое положительное число. Постоянная равна константе С из (428). Подставим в (449) эту оценку гранитного

интеграла, взяв и приведем подобные члены:

Прибавив к обеим ее частям член получим

С другой стороны, для любой функции справедливы соотношения

. Используем его с для оценки сверху члена имеющегося в правой части (451). В результате этого элементарные преобразования приведут нас к неравенству

из которого следует интересующее нас неравенство (434). Как сказано выше, все постоянные. С, определяются D и известными нам параметрами из условий (413), (433). Они могут быть выписаны явно, что легко сделать, следуя только что приведенному выводу неравенства (434).

Если и есть решение задачи (403) из пространства то благодаря неравенству (434) мы можем оценить его норму в через , а именно:

Если же таково, что выполняется неравенство (420), то отсюда и из (421) следует возможность оценить только через :

Замечание. Из данного нами доказательства неравенства видно, что от области D были использованы лишь две характеристики: постоянная С из (428) и постоянная К из (447), причем условие (447) может нарушаться в отдельных точках S и даже на целых множествах точек S поверхностной меры нуль.

Весь вывод сохраняется для широкого класса областей D (например, для любых многогранников).

Неравенство (434) и приведенный здесь вывод взят из работы О. А. Ладыженской (ДАН СССР, 1951, 79, с. 723—725). Такое же неравенство было установлено ею и для общих однородных краевых условии вида L — где означает дифференцирование по направлению, не касающемуся поверхности S и гладко меняющемуся при переходе от одной точки поверхности к другой. Более того, были даны оценки, обобщающие неравенство (434) на случай производных и любого порядка (полные доказательства имеются в книге: Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. — М.: Гостехиздат, 1953). Неравенство (434) для первого краевого условия (т. е. для ) независимо от О. А. Ладыженской и другим способом было доказано Каччопполи (Giorn. Mat. Battaglini, 1950-51, 80, p. 186-212). Частный случай (434), когда D есть круг, извлекается из работ С. Н. Бернштейна (Math. Ann., 1906, 62, S. 253-271; 1910, 69, S. 82-131). Примечательной особенностью двумерного случая является то, что неравенство (434) место для операторов

старшие коэффициенты которых могут быть произвольными измеримыми функциями, удовлетворяющими лишь условиям (413). Этот факт доказывается с помощью приема С. Н. Бернштейна, сводящего данный вопрос для L к аналогичному вопросу для оператора Лапласа, и приема О. А. Ладыженской преобразования и оценки контурного интеграла изложенного выше. При размерности пространства большей двух, прием С. Н. Бернштейна не работает и, оказывается, для справедливости неравенства (434) необходимо накладывать те или иные дополнительные ограничения на коэффициенты нас — это условие ) (см. по этому поводу главы I и III книги; Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973).