170. Предельная задача для телеграфного уравнения.

При решении пре дельных задач для уравнении эллиптического и параболического типов мы использовали теорию потенциала, причем в основе всею построения лежало некоторое сингулярное решение соответствующего дифференциального уравнения. Для уравнений гиперболического типа применение этого метода затруднительно. Лишь в одномерном случае можно, пользуясь основной идеей этого метода, привести предельную задачу к интегральному уравнению Вольтерра

Рассмотрим уравнение [II; 198]

на промежутке с однородными начальными условиями

и предельными условиями

Отметим, что начальные условия могут быть всегда приведены к однородным если использовать решение задачи для неограниченного промежутка как это мы уже делали в [152] для уравнения теплопроводности Вводя, как и в [II; 198], функцию мы без труда убедимся в том, что функция есть решение уравнения (224). Оно будет нам служить в качестве основного решения.

Помещая соответствующие этому решению непрерывно действующие источники на концах промежутка мы получим, как нетрудно непосредственно проверить, решения уравнения

и

где функции считаются диффиренцируемые. Дифференцируя эти решения по получаем опять решения, и ищем решите задачи в виде суммы

причем считается, что при

Формулу (227) можно написать в виде

Напомним разложение:

Уравнение (224) и начальные условия (225) удовлетворяются при любом выборе Предельные условия (226) приводят к следующей системе уравнений для

Функции считаем непрерывно дифференцируемыми. Полагаем

Складывая и вычитая почленно уравнения (229), получаем раздельные уравнения для

причем при

Из этих уравнении можно определять при помощи последовательных шагов на промежутках и т. д. Мы имеем

Вместо метода шагов можно применить к решению интегральных уравнений и преобразование Лапласа.

Материал настоящего параграфа взят мною из неопубликованной работы Д. А. Добротина.