170. Предельная задача для телеграфного уравнения.
При решении пре дельных задач для уравнении эллиптического и параболического типов мы использовали теорию потенциала, причем в основе всею построения лежало некоторое сингулярное решение соответствующего дифференциального уравнения. Для уравнений гиперболического типа применение этого метода затруднительно. Лишь в одномерном случае можно, пользуясь основной идеей этого метода, привести предельную задачу к интегральному уравнению Вольтерра
Рассмотрим уравнение [II; 198]
на промежутке
с однородными начальными условиями
и предельными условиями
Отметим, что начальные условия могут быть всегда приведены к однородным если использовать решение задачи для неограниченного промежутка
как это мы уже делали в [152] для уравнения теплопроводности Вводя, как и в [II; 198], функцию
мы без труда убедимся в том, что функция
есть решение уравнения (224). Оно будет нам служить в качестве основного решения.
Помещая соответствующие этому решению непрерывно действующие источники на концах промежутка
мы получим, как нетрудно непосредственно проверить, решения уравнения
и
где функции
считаются диффиренцируемые. Дифференцируя эти решения по
получаем опять решения, и ищем решите задачи
в виде суммы
причем считается, что
при
Формулу (227) можно написать в виде
Напомним разложение:
Уравнение (224) и начальные условия (225) удовлетворяются при любом выборе
Предельные условия (226) приводят к следующей системе уравнений для
Функции
считаем непрерывно дифференцируемыми. Полагаем
Складывая и вычитая почленно уравнения (229), получаем раздельные уравнения для
причем
при
Из этих уравнении можно определять
при помощи последовательных шагов на промежутках
и т. д. Мы имеем
Вместо метода шагов можно применить к решению интегральных уравнений и преобразование Лапласа.
Материал настоящего параграфа взят мною из неопубликованной работы Д. А. Добротина.