170. Предельная задача для телеграфного уравнения.
При решении пре дельных задач для уравнении эллиптического и параболического типов мы использовали теорию потенциала, причем в основе всею построения лежало некоторое сингулярное решение соответствующего дифференциального уравнения. Для уравнений гиперболического типа применение этого метода затруднительно. Лишь в одномерном случае можно, пользуясь основной идеей этого метода, привести предельную задачу к интегральному уравнению Вольтерра
Рассмотрим уравнение [II; 198]
на промежутке 
с однородными начальными условиями
и предельными условиями
Отметим, что начальные условия могут быть всегда приведены к однородным если использовать решение задачи для неограниченного промежутка 
как это мы уже делали в [152] для уравнения теплопроводности Вводя, как и в [II; 198], функцию 
мы без труда убедимся в том, что функция 
есть решение уравнения (224). Оно будет нам служить в качестве основного решения.
Помещая соответствующие этому решению непрерывно действующие источники на концах промежутка 
мы получим, как нетрудно непосредственно проверить, решения уравнения 
и
где функции 
считаются диффиренцируемые. Дифференцируя эти решения по 
получаем опять решения, и ищем решите задачи 
в виде суммы 
причем считается, что 
при 
Формулу (227) можно написать в виде 
Напомним разложение:
Уравнение (224) и начальные условия (225) удовлетворяются при любом выборе 
Предельные условия (226) приводят к следующей системе уравнений для 
Функции 
считаем непрерывно дифференцируемыми. Полагаем
Складывая и вычитая почленно уравнения (229), получаем раздельные уравнения для 
причем 
при 
Из этих уравнении можно определять 
при помощи последовательных шагов на промежутках 
и т. д. Мы имеем
Вместо метода шагов можно применить к решению интегральных уравнений и преобразование Лапласа.
Материал настоящего параграфа взят мною из неопубликованной работы Д. А. Добротина.
