102. Интегральные формулы и параллельные поверхности.

В дальнейшем нам придется пользоваться следующими интегральными формулами [II; 203]:

где — часть пространства, ограниченная поверхностью и — направление внешней нормали к S. Они являются следствиями равенства (107) из [48]. Эти формулы справедливы при следующих предположениях: и их частные производные первого порядка непрерывны в D, вплоть до S, частные производные второго порядка непрерывны внутри и интегралы по содержащие , имеют смысл. Если не обладают

непрерывностью вплоть до S, то это — несобственные интегралы, которые получаются как пределы по любой последовательности областей которые содержатся внутри А, когда эти области стремятся к А, так что всякая точка, находящаяся внутри А, попадает внутрь областей начиная с некоторого номера n. В дальнейшем мы будем иметь дело с гармоническими функ циями, так что и в (90) мы будем считать . При этом указанные выше формулы принимают вид

Эти формулы справедливы и для бесконечной области находящейся вне

еслй только гармонические вне S функции u и v непрерывны со своими частными производными первого порядка вплоть до S и стремятся к нулю при беспредельном удалении точки М так, что имеют место неравенства

где R — расстояние от М до какой-либо определенной точки О пространства, А — численная постоянная и l — любое фиксированное направление. В формулах (94) и (95) есть направление нормали к S, внешней по отношению к , т. е. направленной внутрь

Для доказательства формул (94) и (95) надо применить их к конечной области, ограниченной поверхностью S и сферой с центром О и достаточно большим радиусом. При стремлении радиуса к бесконечности интеграл по поверхности сферы будет стремиться к нулю, так как произведения и и v будут иметь оценку порядка , а площадь поверхности Таким образом мы и получим формулы (94) и

Как мы увидим в одном из следующих параграфов, условия (96) выполняются при единственном предположении, что гармонические функции стремятся к нулю при беспредельном удалении М. Как следствие формул (93) и (95), мы получаем следующую формулу [II, 204]:

где n — направление внешней нормали по отношению к или , смотря по тому, к какому случаю применяется формула (97), Укажем теперь более общие условия применимости приведенных выше формул. Отложим на нормалях к S в каждой точке этой поверхности отрезок одной и той же длины , направив этот отрезок внутрь S. Предположим, что геометрическое место концов Р этих отрезков при всех достаточно малых образует замкнутую поверхность, которая не пересекает сама себя, лежит внутри S и имеет непрерывно изменяющуюся касательную плоскость. Обозначим эту поверхность через . Каждой точке N на S отвечает определенная точка Р на которая лежит на нормали к S в точке N, и, наоборот, каждой точке Р на отвечает определенная точка N на S. Покажем, что нормаль к S в точке N является и нормалью к в точке Р. Обозначим через координаты точек S и через - координаты соответствующих точек Р в некоторой системе координат.

Мы имеем

где n — направление внешней нормали к S. Будем считать, что некоторый кусок поверхности S имеет явное уравнение причем имеет непрерывные производные до второго порядка. При этом направляющие косинусы нормали будут непрерывно дифференцируемыми функциями координат.

Положим, что N описывает некоторую линию I на упомянутом куске S так, что суть непрерывно дифференцируемые функции некоторого параметра t. При этом и будут непрерывно дифференцируемыми функциями Дифференцируя по t очевидное равенство

получим

Но вторая квадратная скобка равна нулю, ибо PN есть нормаль к 5 Отсюда следует, что и первая скобка равна нулю, а это равносильно тому, что касательная к перпендикулярна к PN. Отсюда непосредственно следует, что PN есть нормаль и к . Мы считаем, что всякую точку S можно поместить внутрь куска поверхности с упомянутыми свойствами. Поверхность называется поверхностью, параллельной поверхности

Положим теперь, что гармонические внутри S функции u и v имеют правильные нормальные производные при стремлении М к N по нормали, причем сами и и v непрерывны в замкнутой области . Мы можем при этом применить все указанные выше формулы для области, ограниченной поверхностью Принимая во внимание равномерное стремление к пределу для u, v и их нормальных производных, а также совпадение нормалей и , мы получим при в пределе все эти формулы и для Тройной интеграл по надо при этом считать несобственным, как предел интегралов по внутренним областям, при Их стремлении к Так как подынтегральная функция положительна, то несущественно, каким именно образом эти внутренние области стремятся к D, В частности, можно использовать области, ограниченные При предельном переходе надо еще иметь в виду и изменение площади поверхности Элемент этой площади выражается через коэффициенты первой Гауссовой формы в виде [II; 142]:

если принять, например, и у за параметры, и из (98) следует, что Е, G и F — полиномы второй степени от . Указанные выше соображения применимы и для . При этом в формулах (98) надо знак минус заменить на плюс. Если гармонические функции представимы потенциалами простого слоя с непрерывными плотностями, то они непрерывны вплоть до S и имеют правильные нормальные производные.

Таким образом, мы имеем:

Теорема. Если возможно построение параллельных поверхностей изнутри и извне S с указанными выше свойствами, то для потенциалов простого слоя с непрерывными плотностями применимы вышеуказанные формулы.

Выясним теперь некоторые достаточные условия существования поверхностей параллельных S. Положим, что поверхность S есть поверхность Ляпунова, причем в условии Покажем, что при этом поверхность при достаточно малых есть замкнутая поверхность без кратных точек, т. е. что разным на S отвечают и разные Р. Положим пока, что и будем считать, что для разных точек

мы получим одну и ту же точку Р, т. е.

где — направление внешних нормалей к в точках . Отметим что лежит внутри сферы с центром и радиусом d. Обозначая через расстояние получим, в силу (99)

где есть угол между . Но, в силу (6), при имеем и потому

Если взять то мы приходим к противоречию. Итак, для поверхности Ляпунова, при поверхность не имеет кратных точек, если . Кроме того, из условий, налагаемых на [94], непосредственно следует, что все точки Р при находятся внутри (или вне) S. Если мы, кроме того, предположим, что уравнение куска поверхности в местных координатах таково, что имеет непрерывные производные до второго порядка, то поверхность будет иметь касательную плоскость, непрерывно меняющуюся при перемещении вдоль Замкнутость непосредственно следует из того, что при непрерывном перемещении точки М, находящейся внутри к поверхности 5 кратчайшее расстояние от М до S будет, при некотором положении равным .

Замечание. Положим, что непрерывна вместе с производными первого порядка внутри S и имеет правильную нормальную производную. При этом предельные значения последней представляют собою непрерывную на S функцию [98], откуда следует, что существует такое число В, что

С другой стороны, в силу равномерного стремления нормальной производной к пределу, при любом заданном положительном в существует такое число что

причем точка М находится внутри S и на нормали к в точке N. Фиксируя , мы получаем при

откуда где Отсюда следует, что имеет определенный предел при по нормали. Мы можем далее написать:

где переменная точка на нормали, причем . Из предыдущей оценки нормальной производной следует: откуда видно, что равномерно относительно положения N на S. Принимая это во внимание, нетрудно показать что стремится к при любом законе стремления М к N и что - непрерывна вплоть до S. Аналогичные рассуждения применимы и для . Итак, при наличии правильной нормальной производной функция непрерывна вплоть до

Таким образом, применение указанных выше интегральных формул обусловлено лишь наличием правильных нормальных производных

Все сказанное выше для переносится и на случай плоскости. В случае бесконечной области на плоскости дело будет обстоять несколько иначе, о чем мы будем говорить ниже.