121. Уравнение Лапласа в n-мерном пространстве.
До сих пор мы рассматривали уравнение Лапласа на плоскости и в трехмерном пространстве.
Результаты легко распространяются и на сличай
-мерного пр странства, где уравнение имеет вид
Проведем основные результаты, касающиеся решений этого уравнения. Функции, имеющие непрерывные производные до вто
порядка и удовлетворяющие этому уравнению, называются гармоническими. Основное сингулярное решение имеет вид
причем постоянную С выбирают равной
где
площадь поверхности сферы единичного радиуса в
-мерном пространстве, так что основное сингулярное решение имеет вид
Объем
n-мерного шара радиуса
выражается формулой
что, как легко проверить, может быть записано единообразно в форме
откуда, дифференцируя по
и полагая
получим
Для гармонической в области D с поверхностью S функции имеет место формула
причем везде мы будем писать лишь один знак интеграла! Величина
есть расстояние переменной точки интегрирования по
поверхности S до М Справедливы основные свойства гармонических функций, среди них теорема о среднем для значения гармонической функции в центре сферы, а также единственность решения задачи Дирихле
Формула, решающая задачу Дирихле для сферы с радиусом
имеет вид
где
— расстояние от центра О сферы до М, N — переменная точка на сфере и
угол между ON и ОМ.
На
-мерное пространство без изменения переносится метод верхних и нижних функций для решения задачи Дирихле, причем имеет место доказанное раньше условие регулярности точек поверхности