121. Уравнение Лапласа в n-мерном пространстве.

До сих пор мы рассматривали уравнение Лапласа на плоскости и в трехмерном пространстве.

Результаты легко распространяются и на сличай -мерного пр странства, где уравнение имеет вид

Проведем основные результаты, касающиеся решений этого уравнения. Функции, имеющие непрерывные производные до вто порядка и удовлетворяющие этому уравнению, называются гармоническими. Основное сингулярное решение имеет вид

причем постоянную С выбирают равной где площадь поверхности сферы единичного радиуса в -мерном пространстве, так что основное сингулярное решение имеет вид

Объем n-мерного шара радиуса выражается формулой

что, как легко проверить, может быть записано единообразно в форме

откуда, дифференцируя по и полагая получим

Для гармонической в области D с поверхностью S функции имеет место формула

причем везде мы будем писать лишь один знак интеграла! Величина есть расстояние переменной точки интегрирования по

поверхности S до М Справедливы основные свойства гармонических функций, среди них теорема о среднем для значения гармонической функции в центре сферы, а также единственность решения задачи Дирихле

Формула, решающая задачу Дирихле для сферы с радиусом имеет вид

где — расстояние от центра О сферы до М, N — переменная точка на сфере и угол между ON и ОМ.

На -мерное пространство без изменения переносится метод верхних и нижних функций для решения задачи Дирихле, причем имеет место доказанное раньше условие регулярности точек поверхности