152. Потенциалы для уравнения теплопроводности в одномерном случае.

Мы покажем сейчас, что можно построить для уравнения теплопроводности теорию, аналогичную теории потенциала для уравнения Лапласа, и таким образом привести предельные задачи уравнения теплопроводности к интегральным уравнениям.

Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности

и положим, что для промежутка поставлена предельная задача с предельными условиями

и с начальным условием

Продолжим функцию заданную на промежутке на всю ось х так, чтобы она была непрерывной и обращалась в нуль вне некоторого конечного промежутка, и составим решение уравнения (5) [II; 214]:

которое удовлетворяет условию

Вводя вместо новую функцию мы получим для w уравнение (5) с однородным начальным условием

и с некоторыми условиями при правые части которых равны разности . Таким образом, мы в дальнейшем будем искать решение уравнения (5) с предельными условиями (6) и однородным начальным условием

Основным сингулярным решением, соответствующим источнику, помещенному, в точке и в момент , является решение

Дифференцируя по и добавляя постоянный множитель получим сингулярное решение, соответствующее диполю:

Умножая последнее решение на некоторую функцию и интегрируя по от до , получим решение

соответствующее диполю в точке действующему от момента с интенсивностью . Тот факт, что функция (13) при удовлетворяет уравнению (5), непосредственно проверяется простым дифференцированием, причем дифференцирование по верхнему пределу дает нуль, так как подынтегральная

функция при стремится к нулю, если Покажем, что функция (13) удовлетворяет следующим предельным соотношениям, если стремится к слева или справа:

Считая введем вместо новую переменную интегрирования:

Если , то при и если , то при . В новой переменной получим

и при в пределе получим

Аналогично доказывается и второе из равенств (14). Кроме того, решение (13) удовлетворяет, очевидно, однородному начальному условию

Мы не останавливаемся на более детальном проведении предельного перехода в формуле (15). Его легко можно проделать при предположении непрерывности .

Положим, что у нас имеется формулированная выше задача с предельными условиями (6) и начальным условием (10). Ищем решение в виде суммы двух диполей — одного, помещенного в точке и другого — в точке искомую интенсивность первого обозначив через и второго через :

Предельные условия (6), в силу (14), запишутся в виде

Эти уравнения представляют собой систему интегральных уравнений Вольтерра для и ядра этих уравнений зависят только от разности , так что к написанной системе может быть применено преобразование Лапласа так, как это мы описывали в . Если, например, на одном из концов задана не сама функция и, а ее производная то на этом конце надо поместить не диполь, а простой источник, действие которого дается формулой (11). Положим, например, что предельные условия имеют вид

и начальные условия, как и выше, имеют вид (16).

Для простоты дальнейших формул умножим решение (11) на и будем таким образом искать решение в виде

Первое из условий (19) даст

Дифференцируя формулу (20) по и устремляя х к l, получим, в силу (14) и второго из условий (19)

и мы получаем опять для систему интегральных уравнений с ядрами, зависящими от разности .