70. Сильные разрывы в теории упругости.

Мы рассматривали раньше возрос о сильных разрывах для решений одного уравнения [44]. Приведем теперь с точки зрения теории сильных разрывов исследование уравнений теории упругости.

Мы ограничимся при этом рассмотрением плоского случая. Пусть — составляющие вектора смещения на плоскости и X, Y — составляющие объемной силы. Обозначая, как всегда, через составляющие тензора напряжений, мы будем иметь следующие два основных уравнения теории упругости.

К этим уравнениям надо добавить еще связь между тензором напряжений и тензором деформации (закон Гука):

Подставляя последние выражения в уравнения (58), получим уравнения теории упругости, выраженные через вектор смещения

В дальнейшем под мы можем подразумевать любые две функции от имеющие непрерывные производные до второго порядка. При этом уравнения (58) дадут нам величины X и Y, соответствующие взятым функциям Введем еще два линейных оператора, содержащих производные первого порядка от функций

Рассмотрим две пары функций и пусть тхуу значения величин (584) и X, Y, соответствующие паре функций Мы имеем, таким образом,

Пользуясь этими выражениями и применяя обычную формулу Остроградского, мы получим следующий аналог формулы Грина:

где D, как и выше, — некоторая область в пространстве ограничивающая ее поверхность и — направление внешней нормали к . Указанная выше формула была впервые дана Вольтерра. Отметим, что под мы разумеем просто выражения, стоящие в первых частях формул (58) и аналогично для . При выводе формулы (60) предполагается, конечно, что функции имеют в области D непрерывные производные до второго порядка.

Переходим теперь к рассмотрению тою случая, когда производные первого порядка функций имеют разрывы Пусть область D рассечена поверхностью а на две части и положим, что на поверхности о первые производные функций имеют разрывы, удовлетворяющие указанным в [441 кинематическим условиям совместности Положим, кроме того, что выражения (59) остаются непрерывными при переходе через поверхность а. В дальнейшем мы выясним механический смысл этих динамических условий совместности Совершенно так же, как и в [44], мы можем утверждать, что формула (60) будет иметь место для всего объема D, если удовлетворяют указанным выше условиям прерывности, а любые функции с непрерывными производными до второго порядка.

Выясним следствия из указанных выше условий. Как и в [44], мы можем утверждать, что векторы должны оставаться непрерывными при переходе через а. Если мы выпишем составляющие этих векторов, то получим шесть выражений, которые должны оставаться непрерывными при переходе через о Добавив еще выражения (59) которые мы преобразуем, подставив в них вместо составляющих тензора напряжений их выражения по формулам (584), мы будем иметь следующие восемь выражений которые должны оставаться непрерывными при переходе через о:

Будем рассматривать написанные уравнения как восемь уравнений относительно шести производных первого порядка от функций . Если бы таблица коэффициентов этих уравнений содержала хоть один определитель шестого порядка, отличный от нуля, то мы могли бы выразить все шесть производных первого порядка от функций и и v через непрерывные функции М и не имели бы разрыва этих производных на . Мы можем, таким образом, утверждать, что все определители шестого порядка упомянутой выше таблицы должны равняться нулю Вычеркивая последние две строки упомянутой таблицы и приравнивая оставшийся определитель нулю, мы получим тождество Рассматривая остальные случаи, мы придем к единственному уравнению

которое и будет выражать тот факт, что упомянутая выше таблица имеет раиг, меньший шести. Пусть уравнение о имеет вид . Написанное зыше уравнение распадается на два уравнения:

и мы видим, таким образом, что поверхность о должна быть характеристической поверхностью уравнений теории упругости [66].

В данном случае мы будем иметь существенную разницу по сравнению с одним волновым уравнением. Кинематические условия совместности, кото сводятся к непрерывности совместно с тем фактом, что о есть характеристическая поверхность, что сводится к уравнению (61), не гарантирует нам еще непрерывности т. е. не гарантирует динамических условий совместности. Выясним те дополнительные условия, при которых мы получаем непрерывность

Возьмем на а некоторую точку , и пусть l — прямая пересечения касательной плоскости к а в точке N с плоскостью проходящей через точку N Выберем эту прямую за ось у. Ось t имеет в точке N фиксированное направление, перпендикулярное к направлению прямой I Тем самым определится и ось Рассмотрим сначала тот случай, когда равен нулю первый из множителей, стоящих в левой части уравнения (61):

что соответствует скорости продольных волн. В силу сделанного выбора оси у, мы имеем в точке и, кроме того, производные остаются непрерывными при переходе через о в точке N. Составим выражение:

Пользуясь (62), можем написать

откуда вытекает, что, в силу кинематических условий совместности и уравнения (62), выражение (63) непрерывно в точке N. При этом оказывается также непрерывным в точке N, а для непрерывности оказывается необходимым и достаточным непрерывность выражения

Кроме того, мы имеем непрерывность выражения

Определитель системы уравнений (64) и (65), равный в силу (62) и отличен от нуля, и, следовательно, непрерывность выражения (64) равносильна непрерывности частных производных Кроме того, мы уже имеем непрерывность частной производной в точке N. Пересечение поверхности о с плоскостью является линией разрыва на плоскости в заданный момент времени, а прямая есть касательная к этой линии в точке N. Величина v есть проекция вектора смещения на направление касательное к линии разрыва Мы показали выше, что все производные первого порядка от v должны быть непрерывными в точке N, т. е. сильный разрыв может испытывать только составляющая и вектора смещения на направление, перпендикулярное к линии разрыва (продольный разрыв). Итак, если выполнены кинематические условия совместности и уравнение (62), то для соблюдения динамических условий совместности необходимо и достаточно, чтобы сильный разрыв имела только составляющая вектора смещения, нормальная к движущейся в плоскости линии разрыва. Совершенно так же можно рассмотреть и уравнение

При этом окажется, что сильный разрыв может испытывать только составляющая вектора смещения на касательную к линии разрыва.

Положим, что поле смещений потенциально:

откуда следует, что

Выбирая по-прежнему координатные оси, мы будем иметь в точке N непрерывность производных . Но тогда из непрерывности будет еле довать и непрерывность и, таким образом, в случае потенциального поля разрыв может испытывать только составляющая вектора смещения на нормаль к линии разрыва.

Положим теперь, что поле смещений соленоидально, т. е.

При этом мы будем иметь непрерывность производных и их, а следовательно, в силу непрерывности и производной т. е. в соленоидальном поле возможен только разрыв составляющей вектора смещения на касательную к линии разрыва.

Выясним теперь механический смысл изложенной выше теории, а именно мы покажем, что наличие формулы (60) в простейших частных случаях показывает, что закон импульсов оказывается справедливым и для объема, содержащего внутри себя поверхность разрыва. Положим в формуле и . При этом, согласно формулам составляющие тензора напряжений для будут равны нулю и формула (60) приведется к виду

Совершенно так же, если положить то получится формула

За область D возьмем цилиндр, образующие которого параллельны оси и пусть основания этого цилиндра находятся в плоскостях Положим, что внутри этого цилиндра находится поверхность разрыва а. На нижнем и верхнем основаниях имеем На нижнем основании и на верхнем основании боковой поверхности Обозначая через переменное сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образующим через линию пересечения этой плоскости с боковой поверхностью цилиндра, мы можем переписать формулу (66) в виде

где

или

Первое слагаемое левой части дает импульс объемных сил, приложенных к площадке плоскости за промежуток времени . Второе слагаемое дает импульс сил напряжения, действующих на контуре этой площадки, а разность, стоящая справа, представляет собою приращение количества движения, рассчитанное для этой же площадки, причем как импульс

силы, так и приращение количества движения спроектированы на ось Совершенно так же формула (67) даст нам аналогичное соотношение для про екций импульса силы и приращения количества движения на ось у Таким образом, мы действительно получаем для объема D, содержащего поверх ность разрыва, закон импульса.