Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Задача Коши и характеристики.Под задачей Коши подразумевают обычно формулированную выше задачу об определении интегральной поверхности уравнения (2), проходящей через заданную линию Теорема. Если правые части системы дифференциальных уравнений
суть непрерывные функции своих аргументов в некоторой области, определяемой неравенствами
и если, кроме того, в этой области существуют непрерывные частные производные то решение системы (5), определяемое в силу теоремы существования и единственности любыми начальными данными
непрерывно по своим аргументам и допускает частные производные Чтобы не прерывать изложение, мы отложим доказательство этой теоремы до одного из следующих параграфов. Вернемся к решению задачи Коши. Положим, что уравнение линии l задано в параметрической форме:
и допустим, что правые части уравнений (4) удовлетворяют условиям формулированной выше теоремы в некоторой области пространства
при s, достаточно близких к нулю, или, в силу (7),
Считая, что правые части уравнений (7) непрерывно дифференцируемы по t, и пользуясь указанной выше теоремой, мы можем утверждать, что функции (8) имеют непрерывные производные не только по s, но и по t. При любом заданном t из промежутка функции (8) определены при всех достаточно близких к нулю. Составим функциональный определитель от первых двух из этих функций по s и
Существенным для дальнейшего будет тот факт, является ли этот определитель отличным от нуля или нет. Мы рассмотрим, во-первых, тот случай, когда
Отметим, что мы построили решение Вопрос о существовании решения уравнения в некоторой наперед предписанной области плоскости
только Проверим теперь, что построенная функция дифференцирования сложных функций и уравнениями (4), можем написать:
Это уравнение имеет место для всех s и t, находящихся в окрестности Для доказательства единственности достаточно убедиться в том, что всякая гладкая интегральная поверхность и
В силу сделанных предположений правые части таковы, что имеет место теорема существования и единственности для всех
Но Положим теперь, что вдоль линии
Покажем, что если в этом случае существует интегральная поверхность порядка, проходящая через Будем считать, что
где буквою k мы обозначили общую величину написанных отношений. Пусть
из которой следует, что линия l есть характеристика. Итак, если
Отметим одну особенность системы (4). Вспомогательный параметр s не входит в правую часть уравнений, и одна из произвольных постоянных входит как добавочное слагаемое к s. Эта произвольная постоянная не играет существенной роли и сводится к произвольности выбора начального значения s. Таким образом, мы имеем при интегрировании этой системы две существенные произвольные постоянные. Этот факт непосредственно очевиден, если записать систему (4) в виде (3). Напомним, что квазилинейное неоднородное уравнение (2) может быть приведено к чисто линейному однородному уравнению, если искать решение в неявной форме [II, 21].
где С — некоторая произвольная постоянная. Согласно правилу дифференцирования неявных функций, мы имеем
и уравнение (2) порождает линейное однородное уравнение для функции
Соответствующей ему системой обыкновенных дифференциальных уравнений является система (3). Если
- два независимых интеграла этой системы, то Изложенные рассуждения дают повод к следующему вопросу. Мы искали решение уравнения (2) как решение, входящее в целый класс решений, имеющих неявное уравнение (14), содержащее лроизвольную постоянную С. Нетрудно показать, что мы таким путем не потеряем ни одного решения нашего уравнения. Для этого надо принять во внимание то, что, ввиду произвольности начальных данных в задаче Коши, мы можем всякое решение нашего уравнения считать входящим в целое семейство решений, содержащее произвольную постоянную. Решая относительно этой произвольной постоянной, мы и убедимся в том, что всякое решение может быть получено из формулы вида (14). Мы могли бы потерять лишь такие решения (особые решения), которые не могут быть получены указанным выше процессом путем решения задачи Коши Таких решений не может быть, если функции а, b и с удовлетворяют некоторым общим условиям. На подробностях доказательства мы не останавливаемся.
|
1 |
Оглавление
|