132. Принцип предельной амплитуды и принцип предельного поглощения.

Как и в предыдущем пункте, можно показать, что условие излучения выделяет единственное решение уравнения

определенное во всем пространстве Будем считать непрерывно дифференцируемой функцией точки трехмерного эвклидова пространства, определенной во всем пространстве и равной нулю вне некоторой конечной области D. Тогда указанное решение определяется равенством

К нему же мы придем, рассматривая нестационарную задачу о вынужденных колебаниях, происходящих под действием периодической силы. Именно, непосредственно из формулы Кирхгофа [II; 212] следует, что

где есть решение волнового уравнения

удовлетворяющее нулевым начальным условиям. Поэтому про решение говорят, что оно есть «предельная амплитуда периодического колебания, устанавливающегося при больших t под действием периодической силы». Такой принцип выделения решений уравнений называется принципом предельной амплитуды

Другой принцип выделения решений уравнения так называемый принцип предельного поглощения (см Игнатовский В. С. Ann. Phys., 1905, 18), состоит в следующем: в уравнение вводят комплексный параметр («поглощение»):

и берут то решение которое стремится к нулю на бесконечности (такое решение одно):

где , причем при . При предельная для функция существует и совпадает с определенной формулой .

Указанные в [130] и здесь три принципа выделения решений в рассмотренном нами простейшем случае приводят, как мы указали, к одному и тому

же решению (2642). Естественно ожидать, что они применимы и к более общим задачам: к краевым задачам для эллиптических уравнений в неограниченных областях. Однако область применимости этих принципов разная. Так, принцип излучения пригоден для тех случаев, когда уравнение рассматривается во всем пространстве или в области , содержащей бесконечно удаленную точку внутри себя [131]. Если же область Е является, например, полосой , то уравнение не имеет ни одного решения, равного нулю при и удовлетворяющего условиям излучения в виде (254) и . Однако, если эти условия несколько видоизменить, то задача будет иметь единственное решение (см Свешников А. Г. О принципе излучения. — ДАН СССР, 1950, 73, № 5).

На основании двух других принципов, применимых здесь без каких-либо изменений, этот пример показывает, что «условия излучения» должны зависеть от формы области Е на бесконечности. Некоторые соображения физического характера указывают на то, что и принцип предельного поглощения не всегда применим в указанной выше форме, если Е достаточно быстро сужается на бесконечности.

Вообще, вопрос о применимости формулированных здесь принципов исследован не полностью. Укажем в связи с этим на работы Ф. Реллиха (Jab resber. Deutsch. Math. Verein, 53, 57), в которых рассматривается форма «условий излучения» для уравнения в неограниченных областях разного вида, на работу А. Я. Повзнера «О разложении функций по собственным функциям оператора (Матем. сб , 1953, 32, № 1, с. 107—156), в которой дается обоснование принципа предельного поглощения для уравнения

в безграничном трехмерном пространстве, и заметку О. А. Ладыженской «О принципе предельной амплитуды» (УМН, 1957, 12, № 3, с. 161—164). Эта заметка посвящена принципу предельной амплитуды для написанного выше уравнения.

Из работ Повзнера и Ладыженской следует, что принцип предельного поглощения имеет более широкую область применимости, чем принцип предельной амплитуды, по крайней мере в той форме, как он сформулирован выше.

Именно, предел решений уравнений

равных нулю на бесконечности, при существует, - если только не есть собственное значение оператора предел от решений соответствующей нестационарной задачи, может не существовать, если оператор имеет хотя бы какое-нибудь собственное значение. Отметим, число с называется собственным значением оператора если уравнение имеет решение, отличное о нулевого, квадрат модуля которого интегрируем по всему пространству. Исследованию этих принципов для более общих уравнений посвящены работы Д. М. Эйдуса, Б. Р. Вайнберга и др.