Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
28. Теорема Ковалевской.Указанный выше метод мажорантных рядов или функций применим и для доказательства существования и единственности решения задачи Коши для уравнений с частными производными. При этом мы будем брать всегда дифференциальные уравнения в разрешенной форме. Пусть имеется дифференциальное уравнение первого порядка
где
причем без ограничения общности мы приняли начальные значения независимых переменных равными нулю. Ищется решение уравнения, удовлетворяющее следующему условию Коши;
При этом мы счйтаем, что функция
и значок нуль, поставленный снизу, будет указывать всегда на то, что все аргументы функции заменены нулями. Прежде чем переходить к решению этой задачи, мы при помощи элементарной замены искомой функции упростим условия задачи, а именно введем вместо функции и новую искомую функцию
где постоянная А представляет собою значение правой части уравнения (205) при начальных значениях (206) аргументов, т. е., проще говоря, А есть свободный член в разложении правой части уравнения (205) в соответствующий степенной ряд
Новая искомая функция должна удовлетворять уравнению
и вместо начального условия (207) мы будем иметь начальное условие Обратим внимание на аргументы функции, стоящей в правой части уравнения (209). Аргумент и
положить опять все
Кроме того, принимая во внимание вычитаемое, стоящее в правой части (209), мы можем утверждать, что эта правая часть обращается в нуль при начальных значениях (210) аргументов. Мы привели таким образом начальное значение Коши и все начальные значения аргументов у функции, стоящей в правой части уравнения, к нулю. Удерживая прежнее обозначение, мы получаем, таким образом, следующую задачу; имеется дифференциальное уравнение
где
равная нулю в этой точке, и ищется решение этого уравнения, удовлетворяющее условию
Заметим, что правая часть уравнения (211) должна разлагаться в ряд вида
сходящийся при всех значениях аргументов, достаточно близких к нулю. Совершенно так же, как в случае обыкновенного дифференциального уравнения, мы будем, пользуясь уравнением (211) и начальным условием (212), вычислять коэффициенты ряда Маклорена искомой функции Таким образом, начальное условие (212) показывает нам, что
где
Дифференцируя обе части уравнения (211) любое число раз по переменным
при любых неотрицательных значениях
Поступая так и дальше, мы можем вычислить любую частную производную искомой функции при начальных значениях аргументов и составить ряд Маклорена
Предыдущие рассуждения так же, как и в случае обыкновенного дифференциального уравнения, доказывают единственность регулярного решения поставленной задачи Коши. Для доказательства существования нам надо обнаружить, что при подстановке полученных начальных значений производных в ряд (216) он сходится в некоторых кругах с центром в начале. Совершенно так же, как и в предыдущем параграфе, можно утверждать, что если мы заменим ряд (213) мажорантным рядом, и если для полученного мажорантного уравнения составленный указанным выше образом ряд (216) будет сходящимся, то тем более он будет сходящимся и для первоначального уравнения. Положим, что ряд (213) абсолютно и равномерно сходится при условии:
и пусть М — наибольшее значение модуля суммы этого ряда при этих условиях. Функция
будет мажорантной для (213), причем мы вычли в правой части предыдущей формулы число М, чтобы избавиться от свободного члена, который отсутствует и в ряде (213). Тем более мажорантной для ряда (213) будет функция
Если мы разделим переменную
будет и подавно мажорантной для (213). Мы имеем, таким образом, мажорантное уравнение
Вычисляя коэффициенты Маклорена для решения этого уравнения, удовлетворяющего начальному условию (212), мы получим степенной ряд, обращающийся в нуль при
где условием (218), где Иначе говоря, все дело сводится к построению решения уравнения (217), удовлетворяющего условию вида (218), и к доказательству того, что это решение разлагается в ряд Маклорена, если
и, следовательно, уравнение (217) примет вид
или
Будем считать, что число а взята настолько близким к нулю, что коэффициент при положителен. В правой части написанного равенства мы получим, разлагая по формуле прогрессии, степенной ряд без свободного члена с положительными коэффициентами. Последнее уравнение может быть записано в виде
где
причем радикал надо считать равным единице при
и все коэффициенты при степенях
Мы уже имели теорему о существовании регулярного решения такого уравнения, удовлетворяющего начальному условию
все коэффициенты которого положительны. Если в написанном разложении пбдетавить Из приведенного выше доказательства следует, что радиусы тех кругов для переменных
|
1 |
Оглавление
|