25. Канонические системы.

Установим связь предыдущих рассуждений с системой Коши. Мы будем рассматривать тот случай, когда уравнение не содержит искомой функции и разрешено относительно одной из производных. Для симметрии введем независимых переменных и одну из этих переменных обозначим через , а производную по ней — через . Уравнение будет иметь вид

а соответствующая система Коши будет канонической системой

Пусть

есть интеграл этой системы, т. е.

в силу системы (188). Иначе мы можем написать последнее равенство в виде

Следовательно, для того чтобы функция давала интеграл системы, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла уравнению (189). Положим, что функции дают два интеграла системы. Покажем, что и их скобка Пуассона также дает интеграл системы (или обращается в постоянную). Из определения скобки Пуассона непосредственно вытекает равенство

Подставляя функцию вместо в соотношение (189), мы получим

Но поскольку суть интегралы, мы можем в последнем равенстве заменить

и, таким образом, придем к соотношению

которое выполняется тождественно, в силу (182). Таким образом, скобка Пуассона из двух интегралов канонической системы есть также интеграл этой системы или постоянная.

Положим теперь, что мы имеем интегралов системы (188)

которые попарно находятся в инволюции и разрешимы относительно Присоединим к уравнениям (190) само дифференциальное уравнение (187) и покажем, что полученные функций находятся попарно в инволюции, - если принять во внимание независимые переменные и соответствующие производные Функции (190) будут, очевидно, попарно в инволюции и после присоединения новой независимой переменной t, так как они вовсе не содержат Достаточно проверить, что каждая из функций (190) будет в инволюции с левой частью уравнения (187). Приравняв нулю соответствующую скобку Пуассона, мы придем как раз к равенству

которое наверное выполнено, так как функции (190) суть интегралы системы (188). Принимая во внимание результаты из [24], мы можем утверждать, что если мы решим уравнения (190) относительно и уравнение (187) относительно подставив в функцию Н полученные выражения то сумма

будет полным дифференциалом некоторой функции

Она будет давать, очевидно, полный интеграл уравнения (187).

Пользуясь теоремой Якоби, мы можем утверждать, что остальные интегралов канонической системы (190) могут быть получены простым дифференцированием, а именно — они определятся равенствами .

Изложение последних параграфов имеет формальный характер.