86. Оправдание метода Фурье для уравнения колебаний.
Рассмотрим теперь, вместо (70), уравнение
Здесь, кроме предельных условий (72), мы имеем два начальных условия:
и применение метода Фурье дает решение задачи в виде
где
и
имеют прежние значения, а
Как и в [85], нам достаточно показать, что ряд (81) и ряды, которые из него получаются при двукратном дифференцировании по t и
будут равномерно сходящимися в промежутке
при любом
Разобьем ряд (81) на два ряда и будем сначала рассматривать ряд
Принимая во внимание, что
всех достаточно больших А, можно утверждать, что при всех достаточно больших
Если мы докажем при некоторых условиях, налагаемых на
, что ряд
равномерно сходится в промежутке
то отсюда, повторяя буквально рассуждения из [85], мы докажем все указанные выше утверждения о почленном дифференцировании ряда (83) Действительно, это очевидно для самого ряда (83), ибо а для рядов, которые получаются дифференцированием
в силу того, что
при всех достаточно больших k. При однократном дифференцировании по
нам достаточно доказать равномерную сходимость ряда
Она непосредственно вытекает из равномерной сходимости ряда (84) в силу формулы
аналогичной формуле (77). Для доказательства равномерной сходимости ряда
достаточно использовать формулу, аналогичную формуле (78), вычеркнув, как и выше, множитель Таким образом, все сводится к доказательству равномерной сходимости ряда
. Пользуясь уравнением (56), получим
Считая, что
имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет условиям (72), и интегрируя по частям, получим
Если предположить, что выражение, стоящее под знаком интеграла в фигурных скобках, имеет непрерывную производную и удовлетворяет предельным условиям (72), то отсюда будет следовать, что ряд (84) равномерно сходится в
. Указанное выше требование сводится к следующему:
имеет непрерывные производные до третьего порядка,
имеет непрерывные производные до второго порядка,
имеет непрерывную производную, и удовлетворяется условие
В силу того, что f(x) также должна удовлетворять условиям (72), мы можем написать (85) в виде
Рассмотрим теперь ряд
где
определяются вторым из равенств (82). Как и выше, достаточно доказать равномерную сходимость ряда
т. е. ряда
где
Считая, что
имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет условиям (72), получим, как и выше,
где
— коэффициент Фурье непрерывной функции, стоящей в фигурных скобках. Подставляя еще
получим
откуда, по неравенству Коши,
или, принимая во внимание (68),
Но ряд, составленный из членов
сходится, и из последнего неравенства непосредственно следует, что ряд (88) равномерно сходится. Таким образом, мы приходим к следующей теореме: Теорема. Если
имеет непрерывные производные
второго порядка,
имеет непрерывную производную,
имеет непрерывные производные до третьего порядка, удовлетворяет условиям (72) и условию
имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет условиям (72), то функция
определяемая формулой (81), удовлетворяет начальным условиям (80), предельным (72), а также уравнению (79). При этом возможно почленное дифференцирование ряда (81) по t и
два раза, и полученные ряды равномерно сходятся в промежутке
при всяком t.