86. Оправдание метода Фурье для уравнения колебаний.

Рассмотрим теперь, вместо (70), уравнение

Здесь, кроме предельных условий (72), мы имеем два начальных условия:

и применение метода Фурье дает решение задачи в виде

где и имеют прежние значения, а

Как и в [85], нам достаточно показать, что ряд (81) и ряды, которые из него получаются при двукратном дифференцировании по t и будут равномерно сходящимися в промежутке при любом

Разобьем ряд (81) на два ряда и будем сначала рассматривать ряд

Принимая во внимание, что всех достаточно больших А, можно утверждать, что при всех достаточно больших

Если мы докажем при некоторых условиях, налагаемых на , что ряд

равномерно сходится в промежутке то отсюда, повторяя буквально рассуждения из [85], мы докажем все указанные выше утверждения о почленном дифференцировании ряда (83) Действительно, это очевидно для самого ряда (83), ибо а для рядов, которые получаются дифференцированием в силу того, что при всех достаточно больших k. При однократном дифференцировании по нам достаточно доказать равномерную сходимость ряда

Она непосредственно вытекает из равномерной сходимости ряда (84) в силу формулы

аналогичной формуле (77). Для доказательства равномерной сходимости ряда

достаточно использовать формулу, аналогичную формуле (78), вычеркнув, как и выше, множитель Таким образом, все сводится к доказательству равномерной сходимости ряда . Пользуясь уравнением (56), получим

Считая, что имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет условиям (72), и интегрируя по частям, получим

Если предположить, что выражение, стоящее под знаком интеграла в фигурных скобках, имеет непрерывную производную и удовлетворяет предельным условиям (72), то отсюда будет следовать, что ряд (84) равномерно сходится в . Указанное выше требование сводится к следующему: имеет непрерывные производные до третьего порядка, имеет непрерывные производные до второго порядка, имеет непрерывную производную, и удовлетворяется условие

В силу того, что f(x) также должна удовлетворять условиям (72), мы можем написать (85) в виде

Рассмотрим теперь ряд

где определяются вторым из равенств (82). Как и выше, достаточно доказать равномерную сходимость ряда

т. е. ряда

где

Считая, что имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет условиям (72), получим, как и выше,

где — коэффициент Фурье непрерывной функции, стоящей в фигурных скобках. Подставляя еще получим

откуда, по неравенству Коши,

или, принимая во внимание (68),

Но ряд, составленный из членов сходится, и из последнего неравенства непосредственно следует, что ряд (88) равномерно сходится. Таким образом, мы приходим к следующей теореме: Теорема. Если имеет непрерывные производные второго порядка, имеет непрерывную производную, имеет непрерывные производные до третьего порядка, удовлетворяет условиям (72) и условию имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет условиям (72), то функция определяемая формулой (81), удовлетворяет начальным условиям (80), предельным (72), а также уравнению (79). При этом возможно почленное дифференцирование ряда (81) по t и два раза, и полученные ряды равномерно сходятся в промежутке при всяком t.