105. Внешние задачи в случае плоскости.
Функцию
гармоническую в окрестности бесконечно далекой точки, мы назовем регулярной в бесконечно далекой точке, если при стремлении точки М к бесконечности функция
имеет конечный предел. Выясним смысл этого определения. Построим в окрестности бесконечно далекой точки функцию
гармонически сопряженную с
. При обходе бесконечно далекой точки против часовой стрелки функция
может приобрести постоянное слагаемое, которое мы обозначим через у. Функция комплексного переменного
будет однозначной и регулярной в окрестности бесконечно далекой точки и, следовательно, должна разлагаться в этой окрестности в ряд Лорана по целым степеням
. Покажем, что в этом разложении вовсе нет членов с положительными степенями
. Действительно, если бы таких членов было бы бесконечное множество, то функция
при
могла бы принимать значения, сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу
а на самом деле вещественная часть функции, т. е.
или стремится к бесконечности, если
так как, по условию,
имеет конечный предел, или имеет конечный предел при
если
Если бы членов с положительными степенями было конечное число, т. е. если бы
то мы имели бы
(
вещественной части).
Если разделить обе части равенства на
и устремить
к бесконечности при фиксированном
то левая часть будет очевидно стремиться к нулю, а правая будет иметь предел
зависящий от
который не всегда равен нулю. Мы придем, таким образом, к противоречию и, следовательно, в разложении
будеттолько свободный член и члены с отрицательными степенями:
При
функция
имеет конечный и определенный предел
и отсюда непосредственно вытекает, что постоянная
у должна быть равна нулю, т. е. если
регулярна в бесконечно далекой точке и
сопряженная функция, то
имеет в окрестности бесконечно далекой точки разложение (105). Из предыдущих рассуждений непосредственно вытекает, что для получения этого результата достаточно предположить, что
просто ограничена по абсолютной величине в окрестности бесконечно далекой точки. Отсюда уже будет вытекать разложение (105) и, тем самым, существование конечного предела
при стремлении точки М к бесконечности.
Внешняя задача Дирихле сводится к нахождению функцин
гармонической вне замкнутого контура l, регулярной
бесконечности и принимающей на контуре
заданные значения
Пусть
— некоторая точка, находящаяся внутри
Совершим конформное преобразование плоскости
Часть плоскости, находящаяся вне l, перейдет в некоторую ограниченную область В, гармонические функции перейдут в гармонические функции
, точка
перейдет в
будет регулярной функцией от w при
Формулированная выше внешняя задача Дирихле перейдет во внутреннюю задачу для преобразованной области, и мы, очевидно, можем иметь только одно решение поставленной задачи.
Пользуясь разложением (105), дифференцируя его по z и принимая во внимание, что
мы можем утверждать, что если гармоническая функция
регулярна в бесконечно далекой точке, то произведения
и
где
остаются ограниченными при беспредельном удалении точки М. Отсюда непосредственно вытекает, что и произведение
где m — любое направление, которое может и изменяться при перемещении точки М, остается ограниченным при беспредельном удалении точки М. Если В есть часть плоскости, находящаяся вне замкнутого контура
функции, гармонические в В, непрерывные в бесконечно далекой точке и непрерывные вместе с производными первого порядка вплоть до контура, то имеют место формулы
где n — направление нормали к
внешней по отношению к области В. Формулы доказываются совершенно так же, как это делалось в [102] для трехмерного случая. Достаточно иметь в виду, что на окружности С с центром в фиксированной точке О и радиусом R произведения v и и имеют оценку а длина окружности
. Как и в [102], формулы (106) и (107) остаются справедливыми, если вместо непрерывности производных первого порядка вплоть до
потребовать существования правильных нормальных производных
.
Переходим к внешней задаче Неймана, когда на l имеется предельное условие
при стремлении М к N по нормали, и сохраняется требование регулярности функции
на бесконечности. Пусть решение задачи
существует, и предположим, что
имеет правильную нормальную производную на
Проводя окружность С достаточно большого радиуса R и применяя формулу (107) к
для области, ограниченной l и С, получим
Но на С производная имеет порядок
откуда следует, что интеграл по С стремится к нулю при и мы получаем в пределе, в силу (108),
Это необходимое условие мы получили и для внутренней задачи Неймана. Пользуясь формулой (106), можно доказать единственность решения внешней задачи Неймана при условии правильности нормальной производной
. В трехмерном пространстве мы
будем иметь условия, аналогичного (110) для разрешимости внешней задачи Неймана.
Отметим тот факт, что основное сингулярное решение
не будет регулярным в бесконечно далекой точке. При
оно стремится к
. Второе сингулярное решение
, соответствующее диполю, уже будет регулярным в бесконечно далекой точке, и оно обращается в этой точке в нуль, В трехмерном
пространстве не только потенциал диполя, но и основное сингулярное решение у обращается в бесконечно далекой точке в нуль.
Потенциал простого слоя (81), дающий гармоническую функцию вне
не будет, вообще говоря, регулярным в бесконечно далекой точке. Если общий заряд равен нулю, т. е. если
то в этом частном случае потенциал (81) будет регулярным. Действительно, пусть R — расстояние точки М до начала. Вводя в интеграл (111) множитель
не зависящий от переменной точки интегрирования N, мы можем написать потенциал (81) в виде
и при беспредельном удалении точки М выражение
стремится к нулю равномерно по отношению к точкам
лежащим на l. Таким образом, мы видим, что потенциал действительно будет регулярным в бесконечно далекой точке и равным нулю.
Докажем еще одно свойство гармонических функций. Положим, что
гармоническая функция в некотором круге, центр которого примем за начало координат
кроме, может быть, самого начала, и ограничена по абсолютной величине в этом круге. Покажем, что существует предел
при
и если принять этот предел за значение
, то
будет гармонической во всем круге, включая начало. Чтобы убедиться в этом, достаточно проделать те рассуждения, которые привели нас к разложению (105), заменив бесконечно далекую точку началом. Вместо (105) будем иметь
откуда и следует наше утверждение.