105. Внешние задачи в случае плоскости.

Функцию гармоническую в окрестности бесконечно далекой точки, мы назовем регулярной в бесконечно далекой точке, если при стремлении точки М к бесконечности функция имеет конечный предел. Выясним смысл этого определения. Построим в окрестности бесконечно далекой точки функцию гармонически сопряженную с . При обходе бесконечно далекой точки против часовой стрелки функция может приобрести постоянное слагаемое, которое мы обозначим через у. Функция комплексного переменного

будет однозначной и регулярной в окрестности бесконечно далекой точки и, следовательно, должна разлагаться в этой окрестности в ряд Лорана по целым степеням . Покажем, что в этом разложении вовсе нет членов с положительными степенями . Действительно, если бы таких членов было бы бесконечное множество, то функция при могла бы принимать значения, сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу а на самом деле вещественная часть функции, т. е. или стремится к бесконечности, если так как, по условию, имеет конечный предел, или имеет конечный предел при если

Если бы членов с положительными степенями было конечное число, т. е. если бы

то мы имели бы

( вещественной части).

Если разделить обе части равенства на и устремить к бесконечности при фиксированном то левая часть будет очевидно стремиться к нулю, а правая будет иметь предел зависящий от который не всегда равен нулю. Мы придем, таким образом, к противоречию и, следовательно, в разложении будеттолько свободный член и члены с отрицательными степенями:

При функция имеет конечный и определенный предел и отсюда непосредственно вытекает, что постоянная

у должна быть равна нулю, т. е. если регулярна в бесконечно далекой точке и сопряженная функция, то имеет в окрестности бесконечно далекой точки разложение (105). Из предыдущих рассуждений непосредственно вытекает, что для получения этого результата достаточно предположить, что просто ограничена по абсолютной величине в окрестности бесконечно далекой точки. Отсюда уже будет вытекать разложение (105) и, тем самым, существование конечного предела при стремлении точки М к бесконечности.

Внешняя задача Дирихле сводится к нахождению функцин гармонической вне замкнутого контура l, регулярной бесконечности и принимающей на контуре заданные значения Пусть — некоторая точка, находящаяся внутри Совершим конформное преобразование плоскости

Часть плоскости, находящаяся вне l, перейдет в некоторую ограниченную область В, гармонические функции перейдут в гармонические функции , точка перейдет в будет регулярной функцией от w при Формулированная выше внешняя задача Дирихле перейдет во внутреннюю задачу для преобразованной области, и мы, очевидно, можем иметь только одно решение поставленной задачи.

Пользуясь разложением (105), дифференцируя его по z и принимая во внимание, что

мы можем утверждать, что если гармоническая функция регулярна в бесконечно далекой точке, то произведения и где остаются ограниченными при беспредельном удалении точки М. Отсюда непосредственно вытекает, что и произведение где m — любое направление, которое может и изменяться при перемещении точки М, остается ограниченным при беспредельном удалении точки М. Если В есть часть плоскости, находящаяся вне замкнутого контура функции, гармонические в В, непрерывные в бесконечно далекой точке и непрерывные вместе с производными первого порядка вплоть до контура, то имеют место формулы

где n — направление нормали к внешней по отношению к области В. Формулы доказываются совершенно так же, как это делалось в [102] для трехмерного случая. Достаточно иметь в виду, что на окружности С с центром в фиксированной точке О и радиусом R произведения v и и имеют оценку а длина окружности . Как и в [102], формулы (106) и (107) остаются справедливыми, если вместо непрерывности производных первого порядка вплоть до потребовать существования правильных нормальных производных .

Переходим к внешней задаче Неймана, когда на l имеется предельное условие

при стремлении М к N по нормали, и сохраняется требование регулярности функции на бесконечности. Пусть решение задачи существует, и предположим, что имеет правильную нормальную производную на Проводя окружность С достаточно большого радиуса R и применяя формулу (107) к для области, ограниченной l и С, получим

Но на С производная имеет порядок откуда следует, что интеграл по С стремится к нулю при и мы получаем в пределе, в силу (108),

Это необходимое условие мы получили и для внутренней задачи Неймана. Пользуясь формулой (106), можно доказать единственность решения внешней задачи Неймана при условии правильности нормальной производной . В трехмерном пространстве мы будем иметь условия, аналогичного (110) для разрешимости внешней задачи Неймана.

Отметим тот факт, что основное сингулярное решение не будет регулярным в бесконечно далекой точке. При оно стремится к . Второе сингулярное решение , соответствующее диполю, уже будет регулярным в бесконечно далекой точке, и оно обращается в этой точке в нуль, В трехмерном

пространстве не только потенциал диполя, но и основное сингулярное решение у обращается в бесконечно далекой точке в нуль.

Потенциал простого слоя (81), дающий гармоническую функцию вне не будет, вообще говоря, регулярным в бесконечно далекой точке. Если общий заряд равен нулю, т. е. если

то в этом частном случае потенциал (81) будет регулярным. Действительно, пусть R — расстояние точки М до начала. Вводя в интеграл (111) множитель не зависящий от переменной точки интегрирования N, мы можем написать потенциал (81) в виде

и при беспредельном удалении точки М выражение стремится к нулю равномерно по отношению к точкам лежащим на l. Таким образом, мы видим, что потенциал действительно будет регулярным в бесконечно далекой точке и равным нулю.

Докажем еще одно свойство гармонических функций. Положим, что гармоническая функция в некотором круге, центр которого примем за начало координат кроме, может быть, самого начала, и ограничена по абсолютной величине в этом круге. Покажем, что существует предел при и если принять этот предел за значение , то будет гармонической во всем круге, включая начало. Чтобы убедиться в этом, достаточно проделать те рассуждения, которые привели нас к разложению (105), заменив бесконечно далекую точку началом. Вместо (105) будем иметь

откуда и следует наше утверждение.