35. Производные высших порядков.

В предыдущем параграфе мы рассмотрели вопрос об определении производных второго порядка на заданной полосе. Перейдем теперь к определению производных высших порядков. Положим, что мы имеем дело с тем случаем, когда определитель (31) отличен от нуля. Возьмем

полный дифференциал от первых двух из уравнений (30) и про дифференцируем заданное уравнение (28) по и по у. Таким образом мы будем иметь четыре уравнения первой степени для определения четырех производных третьего порядка от искомой функции и на заданной полосе:

Определитель этой системы имеет вид

Можно показать, что этот определитель равен квадрату определителя (31), т. е. тоже отличен от нуля. Действительно, обозначая через у какой-нибудь корень уравнения

прибавим к элементам первого столбца определителя элементы второго столбца, умноженные на у, третьего столбца, умноженные на и четвертого столбца, умноженные на Элементы первого столбца при этом окажутся следующими

откуда видно, что являющийся однородным полиномом четвертой степени относительно делится на Коэффициент при в выражении равен и, если мы обозначим через корни уравнения (37), то можем написать:

или, принимая во внимание свойство корней квадратного уравнения:

При доказательстве мы предполагали, что уравнение (37) имеет различные корни. Но если равенство справедливо при таком предположении, то оно будет справедлцво и в том случае, когда уравнение (37) имеет равные корни. Чтобы убедиться в этом, достаточно ресколько изменить коэффициенты так, чтобы уравнение (37) имело различные корни, и затем в равенстве перейти к пределу, устремляя измененные значения

коэффициентов к их исходным значениям, при которых уравнение (37) имеет равные корни.

Совершенно так же мы можем получить пять уравнений первой степени для определения пяти производных четвертого порядка, и определитель этой системы также окажется отличным от нуля и т. д. Предположим, что соответствующие функции будут аналитическими и регулярными. Таким образом, так же, как и в случае специальных данных Коши и уравнения, разрешенного относительно [29], мы можем и в более общем случае, предполагая определитель отличным от нуля, вычислять на заданной полосе производные всех порядков. Составив соответствующий ряд Тэйлора, мы могли бы доказать, как и в [28], его сходимость.

Переходим теперь к тому случаю, когда данная полоса оказывается характеристической полосой. Мы ограничимся при этом только рассмотрением специальных начальных данных Коши (35). Сами эти начальные данные дают нам s и t при и остается определить только . Но при подстановке полученных начальных данных в уравнение (28), мы, в силу (36), получаем тождество, и производная при на первый взгляд остается совершенно неопределенной. Продифференцируем обе части уравнения (28) по

причем в круглых скобках с точками стоят выражения, совершенно аналогичные тому выражению, которое стоит в скобке, содержащей производные от а. Если мы в написанное уравнение подставим начальные данные (35) и уже известные производные второго порядка:

то, обозначая мы получим для искомой функции как нетрудно проверить, уравнение Риккатти, т. е. уравнение вида

где — известные функции от у. Если мы возьмем какое-нибудь решение этого уравнения, то тем самым будем знать при а следовательно, будем знать и все производные третьего порядка при кроме иххх. Для определения начального значения этой производной мы должны продифференцировать уравнение (38) по и внести в полученное таким образом уравнение все уже вычисленные начальные данные.

Таким образом, мы придем для искомой функции к линейному дифференциальному уравнению:

Этот процесс может продолжаться и дальше. При интегрировании упомянутого выше уравнения Риккатти и последующих линейных уравнений вводятся все новые и новые произвольные постоянные, но вся трудность задачи заключается в том, чтобы подобрать значения этих постоянных так, чтобы полученный ряд Тейлора был сходящимся. Можно доказать, на чем мы не останавливаемся, что для уравнения гиперболического типа это может быть сделано бесчисленным множеством способов, т. е. через характеристическую полосу действительно проходит бесчисленное множество интегральных поверхностей. Условия (36) или, в более общем случае, (34) представляют собою, таким образом, необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять начальные данные для того, чтобы существовали интегральные поверхности, содержащие данную характеристическую полосу.

В качестве примера рассмотрим простейшее уравнение второго порядка параболического типа:

В данном случае а и уравнение (32) дает , т. е. . Вдоль всякой линии мы должны иметь некоторую особенность при попытке решения задачи Коши. Положим, что мы имеем специальные данные Коши (35). Полагая в уравнения получим откуда мы видим, что функция вполне определяется заданием функции Это соответствует необходимости выполнения второго из условий (36). Таким образом, в данном случае достаточно задавать лишь первое из условий (35).

Дифференцируя уравнение (39) по и полагая мы вполне определяем начальное значение: Имея это начальное значение, дифференцируя (39) два раза по и полагая мы получим начальное значение при производной третьего порядка по и т. д. В данном случае начальные значения производных по определяются единственным образом, а упомянутые выше дифференциальные уравнения вырождаются в конечные соотношения. Определив начальные значения лроизводных всех порядков по при мы можем построить соответствующий ряд Тэйлора. Оказывается, что он будет сходящимся в окрестности только в том случае, если есть целая функция, удовлетворяющая некоторому

дополнительному условию Напомним, что при рассмотрении задачи распространения тепла в неограниченном стержне мы построили рещеиие уравнения (39), удовлетворяющее первому из условий (35), в виде определенного интеграла. При этом, конечно, не надо было предполагать, что есть целая функция. Для перехода к прежним обозначениям из [II; 214] надо в уравнении (39) заменить на и у на и в уравнении из считать

Если мы положим получим, очевидно, решение уравнения (39), равное тождественно нулю. Покажем, что существует еще элементарное решение уравнения (39), удовлетворяющее с исключением точки тому же начальному условию Положим, что

Функция и все ее производные стремятся к нулю при стремлении больших значений), т. е. функция, определяемая формулами и , и все ее производные будут сохранять непрерывность при переходе через прямую , а на самой этой прямой функция и и все ее производные обращаются в нуль. Исключение представляет лишь точка в которой построенная функция имеет особенность. Непосредственным дифференцированием убеждаемся в том, что построенная функция удовлетворяет уравнению (39). Во всякой точке прямой построенная функция уже не будет, конечно, аналитической, регулярной функцией от ибо слева от этой прямой она тождественно равна нулю, а справа отлична от нуля. Таким образом, построенная функция не представима рядом Тейлора по целым положительным степеням Решение постоянным множителем отличается от решения, дающего элементарный источник тепла [II; 214].