130. Уравнение Гельмгольца и принцип излучения.
Рассмотрим волновое уравнение
и будем искать его решение в виде установившегося синусоидального режима заданной частоты:
Для v мы получаем уравнение Гельмгольца:
по виду схожее с уравнением Лапласа. Выясним, прежде всего, условие, которому должны удовлетворять решения этого урав нения на бесконечности. Мы уже упоминали об этом условии в 
и назвали его принципом излучения. Мы дадим в настоящем параграфе точную математическую формулировку этого условия. Пусть имеется установившийся режим вне некоторой поверхности S. Проведем сферу 
с центром в некоторой точке М, находящейся вне S, и достаточно большим радиусом, так, чтобы S лежала внутри 
применим формулу Кирхгофа [II; 212] (в ней 
к решению (251). В написанной формуле интегрирование совершается по S и 
Для решения (251) мы имеем при 
и при интегрировании по 
получим интеграл вида
причем под знаком интеграла надо положить 
Естественно потребовать, чтобы последнее выражение стремилось к нулю при 
(отсутствие источника колебания по бесконечности). Элемент площади поверхности сферы содержит множитель 
и указанное выше условие будет выполнено, если мы подчиним v двум требованиям:
при 
причем эти условия должны быть выполнены при любом выборе начала радиусов-векторов 
и равномерно относительно направления этих радиусов-векторов. В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями. Через 
мы будем обозначать такую величину 
, что отношение 
остается ограниченным при 
и через 
мы будем
обозначать такую величину 
что отношение 
при 
причем это должно иметь место равномерно относительно направления радиуса-вектора 
и независимо от выбора его на чала. Предыдущие условия могут быть записаны в виде
Эти условия и представляют собою математическую формулировку принципа излучения в трехмерном случае. Совершенно аналогично в двумерном случае условия имеют вид
Основным сингулярным решением, удовлетворяющим прин ципу излучения, будет в трехмерном случае решение:
где 
— расстояние, отсчитываемое от некоторой фиксированнной точки О до переменной точки Р. Дифференцируя решение (258), по 
, убеждаемся, что оно удовлетворяет условию, более силь ному, чем условие (255), а именно вместо о 
справа будет стоять 
При этом мы считаем, что в формуле (255) расстояния отсчитываются от той же точки О. Проверим теперь формулы (254) и (255), считая, что расстояния отсчитываются от другой точки О], и обозначим 
Ограниченность 
непосредственно вытекает из того, что 
Формула (255) проверяется простым дифференцированием решения (258) по 
через посредство 
. При этом мы имеем
где v — угол между направлениями 
применяя формулу для квадрата стороны 
в треугольнике 
мы получаем
В плоском случае основным решением, удовлетворяющим принципу излучения, будет решение 
, где 
вторая функция Ханкеля, Чтобы проверить это, достаточно воспользоваться асимптотическим выражением функций Ханкеля и формулой
будет стоять 
. Умножим это решение 
на такой постоянный множитель, что бы сингулярность при 
сводилась к 
Мы получим таким образом решение
