27. Метод мажорантных рядов.

При исследовании задачи Коши мы предполагали данные и искомые функции вещественными функциями вещественных независимых переменных, обладающими лишь некоторой гладкостью. В данном и следующих двух пунктах мы докажем однозначную разрешимость задачи Коши для уравнений и систем любого порядка, в предположении, что все входящие в задачу функции являются аналитическими. Независимые переменные по-прежнему будем считать вещественными, а данные и искомые функции могут принимать и комплексные значения. Предварительно нам надо будет изложить некоторые вспомогательные предложения.

Пусть имеется степенной ряд от переменных

сходящийся при соблюдении условий

Мы будем считать, что радиусы сходимости ряда (194) даже несколько больше чисел Пусть М — наибольшее значение модуля функции (194) при соблюдении условий (195). Мы видели, что степенной ряд, полученный от разложения функции

будет иметь все коэффициенты положительные и не меньшие, чем модули коэффициентов ряда (194). Иначе говорят, что последний ряд будет мажорантным для ряда (194).

Вообще мажорантным для ряда

называется ряд такого же вида, но коэффициенты которого неотрицательны т. е. больше нуля или равны нулю) и не меньше,

чем модули соответствующих коэффициентов ряда (197). Как известно, всякий степенной ряд сходится абсолютно внутри своих кругов сходимости Если некоторый мажорантный ряд для ряда (197) сходится при то мы можем, очевидно, утверждать, что и ряд (197) сходится внутри кругов . Считая в выражении (196) все числа одинаковыми (можно заменить все наименьшим), рассмотрим две функции:

и

Разложения этих функций в степенные ряды будут иметь соответственно вид

и, раскрывая мы убеждаемся, что коэффициенты в разложении функции (199) не меньше соответствующих коэффициентов в разложении (198), т. е. функция (199) (или соответствующий степенной ряд) также будет мажорантной для функции (197) (т. е. для соответствующего степенного ряда).

Метод мажорантных степенных рядов применяется для доказательств существования решения дифференциальных уравнений в случае аналитических функций. Проведем соответствующее доказательство сначала для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Пусть имеется дифференциальное уравнение

правая часть которого представляет собою степенной ряд относительно х и у, сходящийся в окрестности т. е.

Ищется решение этого уравнения, регулярное в точке и удовлетворяющей начальному условию

Для построения искомого решения достаточно составить его ряд Маклорена, т. е. вычислить значения производных при . Свободный член этого ряда Маклорена дается начальным условием (201) и равен нулю. Значение первой производной при дается дифференциальным уравнением, и мы имеем определения второй производной дифференцируем обе части уравнения по

и подставляя в его правую часть определим значение второй производной при

Продолжая поступать так и дальше, мы сможем определить производные всех порядков при и составить ряд Маклорена

Из предыдущих вычислений вытекает, что может существовать только одно регулярное решение, удовлетворяющее данному начальному условию. Но для того, чтобы утверждать, что такое решение действительно существует, нам надо доказать, что ряд (202) имеет радиус сходимости, больший нуля. Заметим при этом, что все предыдущие операции, которые мы проделывали с рядами, законны в силу основных свойств степенных рядов внутри их кругов сходимости. Если ряд (202) окажется сходящимся, то из самого закона составления его коэффициентов непосредственно вытекает, что его сумма удовлетворяет уравнению (200).

Из предыдущих вычислений непосредственно вытекает, что коэффициенты ряда (202) являются полиномами от с неотрицательными численными коэффициентами. Действительно, при последовательном дифференцировании уравнения и подстановке в правую часть уже найденных начальных значений производных нам приходится производить над коэффициентами только действия сложения и умножения. Поэтому если мы ряд, стоящий в правой части уравнения (200), заменим мажорантным рядом, то и ряд (202) заменится мажорантным рядом. Если этот мажорантный ряд окажется сходящимся при достаточно близких к нулю, то тем более будет сходящимся и сам ряд (202) для уравнения (200). Основным моментом в дальнейшем доказательстве будет тот факт, что при замене в правой части уравнения (200) ряда мажорантным рядом мы получим уравнение,

которое проинтегрируется в конечном виде. Положим, что ряд, стоящий в правой части уравнения (200), сходится абсолютно и равномерно при и u пусть М — наибольшее значение суммы этого ряда при указанных условиях. Переходя к мажорантному ряду, мы получим дифференциальное уравнение

в котором переменные разделяются:

Интегрируя и принимая во внимание (201), получим

откуда

причем значение радикала надо брать равным единице при , т. е. таким, чтобы удовлетворялось начальное условие (201). Функция (204) является регулярной функцией в точке и, следовательно, разлагается в степенной ряд.

Коэффициенты этого ряда очевидно совпадают с теми коэффициентами, которые получаются указанным выше процессом из уравнения (203) его почленным дифференцированием. Таким образом, для мажорантного уравнения ряд (202) оказывается сходящимся в окрестности . Тем более он будет сходящимся, как мы видели выше, и для основного уравнения. Этим доказана не только единственность, но и существование регулярного решения уравнения (200), удовлетворяющего начальному условию (201).