131. Теорема единственности.
При наличии принципа излучения может быть доказана теорема единственности, т. е. если функция v удовлетворяет вне некоторого замкнутого контура l уравнению (252), на бесконечности принципу излучения и на контуре l однородному предельному условию, например условию
или
она тоокдественно равна нулю.
Применим формулу
к области
ограниченной изнутри контуром
и извне окружностью
с центром в некоторой фиксированной точке и достаточно большим радиусом, и положим
, где
комплексно сопряженная с v. Считаем, что v непрерывна вплоть до l и имеет правильную нормальную производную. В силу (252) двойной интеграл будет равен нулю, и, в силу предельного условия, интеграл по
также будет равен нулю. Останется интеграл по
и на этом контуре направление
совпадает с направлением
. Условие (257) дает нам возможность заменить
и таким образом мы приходим к равенству
Так как
ограничены при
то последние два слагаемых стремятся к нулю, и, вводя полярный угол
на
окружности
мы имеем
Применим теперь формулу Грина к решению v и к первому из решений (262). Двойной интеграл по-прежнему сократится и останутся интегралы по l и
а потому величина интеграла по
не зависит от
. Оба взятые решения удовлетворяют принципу излучения, причем решения (262) удовлетворяют условию (257) в усиленной форме, как и решение
Пользуясь, как и выше, условием (257), мы получим, что интеграл по
стремится к нулю, и поскольку его величина не зависит от
, он просто равен нулю, т. е.
Если положить
то это дает
откуда
, где
постоянная, причем
.
Совершенно аналогично получим для
выражения
, где
тоже постоянная.
Уравнение замкнутости
и формула (264) показывают, что при фиксированном
Но из асимптотического выражения
следует, что
остается по модулю большим некоторого положительного числа при больших
, откуда следует, что
а отсюда вытекает, в силу уравнения замкнутости, что v равно нулю на окружностях
Если l есть окружность, то, взяв за
окружности, концентрические с
мы получим, что v тождественно рявно нулю вне
что и требовалось доказать, В случае общего контура
предыдущие рассуждения показывают, что v обращается в нуль в окрестности бесконечно далекой точки. Дальше мы покажем [132], что
должна быть, как и для уравнения Лапласа, аналитической функцией, и, согласно принципу аналитического продолжения, из обращения v в нуль в окрестности бесконечно далекой точки следует, что
везде вне l. Совершенно аналогичным образом теорема единственности доказывается и в трехмерном случае.