93. Пример Ритца.

Приведем один пример приближенного вычисления собственных значений и собственных функций. В этом примере собственные значения и собственные функции могут быть определены точно в конечном виде, и это даст нам возможность выяснить быстроту сходимости процесса. Приводимый пример находится в мемуаре Ритца J. reine und angew. Math., 1909, 135). Рассмотрим уравнение

при предельных условиях причем № играет роль параметра X. К такой предельной задаче приводит задача колебания струны, закрепленной на концах. Основной тон струны дается решением

первый обертон —

второй обертон —

Ищем приближенно четные решения в виде многочлена, расположенного по четным степеням х. Общий вид такого многочлена, удовлетворяющего предельным условиям, будет

Ограничиваясь лишь двумя членами

и подставляя их в интеграл

мы получим

Приравнивая нулю частные производные по , придем к системе

и равенство нулю определителя даст нам уравнение

корни которого будут

Из точных же решений, приведенных выше, получается:

При втором приближении

Для определения будем иметь уравнение

из которого находим

Подставляя это полученное приближенное значение для в коэффициенты системы, служащей для определения , мы найдем и эти коэффициенты с точностью до постоянного множителя, которым можно распорядиться так, чтобы полученное решение удовлетворяло условию

которому удовлетворяет точное решение Таким путем мы придем к следующему приближенному решению

Насколько мало отличается у от , показывает следующая таблица, в которой приведены мантиссы десятичных логарифмов этих функций:

Собственные значения и функции, которые представляют собой нечетные функции х, можно приближенно искать в виде