33. Задача Коши.
Мы видели выше [29], что для уравнения второго порядка
данные Коши, в частном случае, могут состоять в задании функции и и ее производной
при начальном значении
Будем называть такие данные специальными данными Коили. Эти начальные условия сводятся к тому, что вдоль линии
плоскости
задается значение искомой функции
и ее частной производной
. Отметим при этом, что значения другой частной производной первого порядка
непосредственно получаются из первого из условий (21). Таким образом, согласно начальным данным, мы будем знать вдоль линии
самую функцию и ее обе частные производные первого порядка. Нетрудно представить себе более общие данные Коши. Пусть на плоскости
имеется некоторая линия X, не пересекающая сама себя, и положим, что вдоль этой линии нам заданы значения искомой функции и. Тем самым мы будем знать вдоль линии X и производную от и по направлению, касательному к линии X. Для того, чтобы знать производную первого порядка по любому направлению, мы должны иметь еще одно данное вдоль линии X, а именно нам должно быть задано вдоль линии X значение производной от функции и по любому направлению, отличному от направления, касательного к X. Имея производные по двум направлениям плоскости
вдоль линии X, мы будем знать и производную по любому направлению в этой плоскости вдоль X. Таким образом, в рассматриваемом случае вдоль линии X нам должны быть заданы значения самой функции и ее производной по любому направлению, не касательному к X. Задание значений и вдоль линии X плоскости
приводит нас к некоторой линии
в трехмерном пространстве
. Кроме того, нам известны вдоль X частные производные
и q. Таким образом, окончательно данные Коши сводятся к заданию некоторой линии
трехмерного пространства
и к заданию вдоль этой линии положения касательной плоскости. Пользуясь параметрическим представлением, мы можем изобразить эти общие данные Коши в следующем виде: заданы пять функций от одного параметра
которые должны удовлетворять соотношению
Последнее соотношение сводится к тому требованию, чтобы задание обеих частных производных
и q вдоль Я не противоречило заданию самой функции и вдоль X, т. е. чтобы производная в направлении, касательном
вычисленная на основании данных
и q, имела бы те же самые значения, которые получаются в силу задания самой функции и вдоль
Пять функций (22), удовлетворяющих соотношению (23), определяют полосу в трехмерном пространстве
, и задача Коши состоит в разыскании интегральной поверхности уравнения (20), содержащей заданную полосу.
Аналогичным образом ставится в общем случае задача Коши и для функций от любого числа независимых переменных. Рассмотрим, например, уравнение второго порядка с тремя независимыми переменными
Начальные данные Коши сводятся в данном случае к заданию функции и и ее частных производных первого порядка на некоторой поверхности S трехмерного пространства
. Раз заданы значения самой функции и на поверхности S, то для определения всех ее частных производных первого порядка вдоль S достаточно задать вдоль S производную по любому направленно, не лежащему лишь в касательной плоскости к поверхности S. Если поверхность S, несущая начальные данные Коши, есть плоскость
то мы имеем специальную форму начальных данных Коши
В параметрической форме указанная выше задача Коши сводится к заданию семи функций от двух параметров
причем должно быть выполнено условие
Задание функций
сводится к заданию поверхности, а остальные данные — к заданию функции u и
частных производных первого порядка вдоль этой поверхности. Данные (26), удовлетворяющие условию (27), называют обычно полосой
или — более точно — полосой первого порядка в четырехмерном пространстве
, и задача Коши состоит в определении интегральной поверхности уравнения (24), содержащей заданную полосу. В случае функции и от
независимых переменных
полоса задается в виде
функций от
параметров
причем эти функции должны удовлетворять соотношению
Если одной из независимых переменных является время t, и поверхность, несущая начальные данные Коши, есть плоскость
то мы имеем обычную задачу математической физики интегрирования данного уравнения при заданных начальных условиях [II; 176].
Начальные данные Коши определяют функцию и и все ее частные производные первого порядка на той линии или поверхности, которая несет на себе начальные данные. Если мы к начальным данным присоединим еще само дифференциальное уравнение, то, как мы видели в [29], в случае специальных данных Коши мы сможем однозначно определять на указанной линии или поверхности и все производные второго порядка от искомой функции. Мы будем называть данную полосу характеристической полосой, если данная полоса вместе с самим дифференциальным уравнением не приводит к однозначному определению производных второго порядка. В следующем параграфе мы выясним этот вопрос подробно для случая квазилинейного уравнения с двумя независимыми переменными.