1.7. Плоский обратный образ циклов

Пусть плоский морфизм относительной размерности дополнение Для нас особенно важны такие примеры:

(i) открытое вложение ;

(ii) проекция векторного расслоения или А -расслоения (ср. § 1.9), или проективного расслоения на базу;

(iii) проекция декартова произведения на первый сомножитель, где чисто -мерная схема;

(iv) любой доминантный морфизм -мерного многообразия на неособую кривую.

Соглашение. В этой книге плоский морфизм всегда предполагается имеющим относительную размерность для некоторого целого

Для такого и любого подмногообразия положим

Здесь схемный прообраз (ср. дополнение подсхема в X чистой размерности ее цикл (§ 1.5). Продолжая по линейности, получаем гомоморфизм обратного образа

Лемма 1.7.1. Если - плоский морфизм, то для любой подасемы

Доказательство. Пусть неприводимая компонента подсхемы а V — замыкание Из первого утверждения леммы вытекает, что V — неприводимая компонента подсхемы Второе утверждение леммы примененное к , влечет за собой требуемое равенство кратностей.

Из этой леммы следует функториальность обратного образа: если плоские морфизмы, то плоский морфизм В самом деле, если V — подмногообразие в то

Предложение 1.7. Пусть

— декартов квадрат, плоский морфизм и собственный морфизм. Тогда будет плоским, собственным морфизмами и для любого

Доказательство. Так как плоскостность и собственность сохраняются при замене базы, можно считать многообразиями, сюръективным морфизмом и Пусть Мы должны показать, что Это локальное вычисление использует локальные кольца неприводимых компонент, поэтому мы можем предполагать, что где поля, где А — артиново кольцо, и где Теперь все следует из леммы

Теорема 1.7. Пусть плоский морфизм относительной размерности — рационально эквивалентный нулю -цикл на Тогда рационально эквивалентен нулю в

Значит, существуют индуцированные гомоморфизмы плоского обратного образа

так что А становится контравариантным функтором для плоских морфизмов.

Доказательство. Согласно предложению 1.6, мы можем считать, что где V — подмногообразие в и проекция доминантная, а следовательно, плоская. Пусть замкнутая подсхема в морфизм, индуцированный проекцией на

Пусть проекции. Тогда

по предложению 1.7, и это равно

по лемме 1.7.1. Пусть неприводимые компоненты схемы ограничения на Пусть Так как

а сохраняет рациональную эквивалентность, то достаточно проверить равенство

для Оно является частным случаем следующей общей леммы.

Лемма 1.7.2. Пусть X — чисто n-мерная схема с неприводимыми компонентами и геометрическими кратностями

Пусть эффективный дивизор Картье на X, т. е. замкнутая подсхема в X, пучок идеалов которой локально порождается одним неделителем нуля. Пусть ограничение дивизора на

Тогда

Доказательство. Нужно проверить, что каждое подмногообразие коразмерности 1 встречается с одной и той же кратностью в обеих частях равенства. Пусть А — локальное кольцо схемы X вдоль локальное уравнение для Минимальные простые идеалы соответствуют неприводимым компонентам схемы X, содержащим Кратность равна длине Кратность в есть Кратность в есть Нужное равенство

дается леммой А.2.7; тот факт, что а не является делителем нуля, используется для доказательства совпадения с кратностью ел из

Пример 1.7.1. Теорема 1.7 становится неверной, если отбросить предположение о постоянстве относительной размерности. Лемма 1.7.2 неверна, если у X имеются компоненты разной размерности. (Например, пусть X — подсхема в заданна» идеалом а дивизор Картье задается функцией ) В работе [Fulton 2], § 1.5, предл. 3, это условие было ошибочно опущено.

Пример 1.7.2. Лемма 1.7.2 верна и для неэффективных дивизоров Картье.

Пример 1.7.3. Пусть эффективный дивизор Картье на -мерной схеме Пусть есть -мерная компонента цикла и Тогда (по доказательству леммы 1.7.2)

Пример 1.7.4. Пусть конечный плоский морфизм. Каждая точка схемы X имеет аффинную окрестность такую, что координатное кольцо для является конечно порожденным свободным модулем над координатным кольцом для Скажем, что имеет степень если ранг этого модуля равен d для любой окрестности Тогда для любого подмногообразия имеет место равенство Композиция

есть умножение на d.

Пример 1.7.5. Пусть для каждой алгебраической схемы X над заданным полем указана подгруппа которая сохраняется при гомоморфизмах собственного прямого образа и плоского обратного образа, и пусть содержит цикл Тогда содержит все циклы, рационально эквивалентные нулю на

Пример 1.7.6. Пусть конечная группа действует на многообразии и существует фактормногообразие (Это так, если квазипроективно, ср. [Mumford 4], с. 133.) Тогда существует канонический изоморфизм

Здесь обозначает действует на по ковариантности (§ 1.4) и обозначает -инвариантную подгруппу в проекция на фактормногообразие. Для любого подмногообразия пусть

— группа инерции и

где степень несепарабельности над Для подмногообразия положим

где суммирование ведется по всем неприводимым компонентам схемы Это дает изоморфизм есть факторпространство по модулю подпространства, порожденного

Заметим, что композиция

является умножением на