Глава 6. Произведения-пересечения

Резюме

Если даны регулярное вложение коразмерности -мерное многообразие V и морфизм можно построить произведение-пересечение где Хотя наибольший интерес представляет случай, когда замкнутое вложение и очень выгодно допускать произвольные морфизмы Пусть индуцированный морфизм. Нормальный конус к является чисто -мерным замкнутым подконусом в Мы определяем как результат пересечения -цикла с нулевым сечением

где -нулевое сечение, отображение Гизина, построенное в гл. 3. Иначе говоря, -компонента размерности d класса

где класс Сегре

Если -цикл записывается как сумма с неприводимыми то имеется соответствующее разложение где класс на носителе конуса

Если вложение регулярно и имеет коразмерность то справедлива формула избыточного пересечения

где

Если даны как выше, и морфизм образуем расслоенный квадрат

Существуют тонкие гомоморфизмы Гизина

определенные формулой для подмногообразий

В этой главе доказываются фундаментальные свойства этих операций пересечения. Кроме корректности определения отметим следующие важные свойства:

(i) согласованность с собственным прямым образом (§ 6.2);

(ii) согласованность с плоским обратным образом (§ 6.2);

(iii) коммутативность (§ 6.4);

(iv) функториальность (§ 6.5).

Например, при вычислении согласно (i), достаточно вычислить для любого V, отображающегося на V собственно и бирационально; можно раздуть V вдоль чтобы свести все к случаю, когда применима формула избыточного пересечения. Частным случаем (ii) является утверждение о согласованности пересечения с ограничением на открытую подсхему, что часто позволяет вычислять произведение-пересечение локально. Важный случай коммутативности утверждает, что пересечения можно производить до или после специализации в семействе; в гл. 10 это приведет к сильной версии «принципа непрерывности».

Если то дает (обычные) гомоморфизмы Гизина

Функториальность (iv) утончяет утверждение где регулярные вложения.

Вообще, если -морфизм локально полного пересечения, существуют гомоморфизмы Гизина и тонкие гомоморфизмы Эти гомоморфизмы используются для описания группы где раздутие схемы вдоль регулярно вложенной подсхемы. Новая формула для раздутия явно описывает отображение Гизина из в А

Остаток этой книги базируется на этих произведениях-пересечениях и фундаментальных свойствах, доказываемых в § 6.1-§ 6.5. Как и в гл. 2, эти формальные свойства имеют топологическую мотивировку. Как мы увидим в гл. 19, регулярное вложение коразмерности d определяет ориентацию, или обобщенный класс Тома, в Отображения Гизина являются алгебро-геометрическим вариантом -произведения с этим классом ориентации или с его прообразом в У, если отображается в У.