Дополнение В. Алгебраическая геометрия (сводка результатов)

Цель этого дополнения — фиксировать терминологию и обозначения из алгебраической геометрии, которыми мы пользуемся в тексте, а также дать доказательства или ссылки для некоторых необходимых нам основных фактов. Хотя нам и нужны несколько схемных конструкций, все же мы отдавали предпочтение более классическому геометрическому языку. Например, «точки» всюду обозначают замкнутые точки; для векторного расслоения обозначает расслоение прямых в Основная литература о фактах, не доказываемых здесь, это: [Grothendieck - Dieudonne 1], цитируемая как [EGA], [Hart-shorne 5], обозначается и [Berthelot - Grothendieck - Illusie et al], обозначается [SGA 6]; полезны также [Шафаревич 1], [Altman - Kleiman 1] и [Mumford 2].

В.1. Алгебраические схемы

B.1.1. Алгебраической схемой над полем К называется схема X вместе с морфизмом конечного типа из X в Другими словами, X обладает конечным покрытием открытыми аффинными множествами, координатные кольца которых являются конечно порожденными -алгебрами ([EGA], 1.6.5, [?], II.3). Координатное кольцо аффинного открытого множества обозначается

В гл. 1—19 слово схема означает алгебраическую схему над некоторым полем.

Замкнутая подсхема схемы X определяется пучком идеалов К) в структурном пучке на для открытого аффинного покрытия схемы X подсхема соответствует идеалу в каждом координатном кольце элементов покрытия схемы Замкнутая подсхема снабжена замкнутым вложением общем случае вложения и подсхемы предполагаются замкнутыми, если только не говорится явно, что они открыты или локально замкнуты. Обозначение указывает, что замкнутая подсхема схемы

Для замкнутой подсхемы схемы X через обозначается открытая подсхема в на дополнении к носителю

В.1.2. Многообразием называется приведенная и неприводимая (т. е. целостная) алгебраическая схема.

Подмногообразие V схемы X — это приведенная и неприводимая замкнутая подсхема в Подмногообразие К соответствует простому идеалу в координатном кольце любого открытого аффинного множества, пересекающего V Локальным кольцом схемы X вдоль V (обозначается называется локализация такого координатного кольца в соответствующем простом идеале ; максимальный идеал этого локального кольца обозначается На языке Гротендика есть слой структурного пучка схемы X в общей точке К

Поле функций многообразия К обозначается через Если К — подмногообразие схемы X, то есть поле вычетов .

В.1.3. Размерностью схемы X (обозначается называется максимум длин цепочек

подмногообразий в Если X — многообразие, совпадает со степенью трансцендентности поля над основным полем К. Обозначение часто указывает на то, что размерность X равна Схема X называется равноразмерной или чисто -мерной схемой, если все неприводимые компоненты X имеют одну и ту же размерность

Если V — подмногообразие схемы X, коразмерностью (обозначается называется максимум длин d цепочек подмногообразий

Точкой схемы X называется -мерное подмногообразие в Точка рациональна над основным полем К, если Мы часто пишем или вместо Точка схемы X называется регулярной, если локальное кольцо регулярно (дополнение Открытое множество регулярных точек схемы X обозначается

Аффинное -мерное пространство или А к, — это аффинное многообразие, координатным кольцом которого служит кольцо многочленов При часто используются координаты , Проективное -мерное пространство обозначается через или Как правило, обозначают однородные координаты на ; точка в с однородными координатами Пространство отождествляется с открытой подсхемой в где Точка на

называется нулевой точкой и обозначается 0, тогда как точка бесконечной и обозначается

Подсхема в задаваемая идеалом в кольце обозначается или Аналогично, если однородный идеал в порожденный формами то или обозначает подсхему в заданную идеалом