3.1. Классы Сегре векторных расслоений

Пусть векторное расслоение ранга над алгебраической схемой Пусть проективное расслоение прямых в проекция из и каноническое линейное расслоение над т. е. двойственное к тавтологическому подрасслоению (см. дополнение

Определим гомоморфизм а из по формуле

Здесь плоский обратный образ из (§ 1.7),

итерированный гомоморфизм первого класса Чженя из прямой образ из (§ 1.4).

Предложение 3.1. (а) Для всех а

(b) Если векторные расслоения над X и а то для любых

(c) Если собственный морфизм, векторное расслоение над X и а то для всех

(d) Если плоский морфизм, векторное расслоение над X и а то для всех

(e) Если линейное расслоение над X и а то

Доказательство. Сначала докажем пп. Для данных морфизма и векторного расслоения над X существует расслоенный квадрат

такой, что Если собственный морфизм, а то

Доказательство аналогично, оно использует соответствующий факт для линейных расслоений (предложение и оставляется читателю.

При доказательстве можно предполагать, что где V есть -мерное подмногообразие в По (с) можно считать, что Тогда для что доказывает (i). Кроме того,

для некоторого целого Чтобы показать, что можно, пользуясь перейти к ограничению на открытую часть схемы X и считать тривиальным расслоением. В этом случае и (1) обладает сечениями, схемой нулей которых является Тогда

по определению класса Чженя линейного расслоения. Повторяя это раз, мы получаем

Для доказательства образуем расслоенный квадрат

в котором проекции. Пусть ранг равен Тогда

по предложению и функториальности прямых и обратных образов. Теперь можно пойти в обратном направлении и получить

Что касается то так что и по предложению

Следствие 3.1. Плоский обратный образ

является расщепимым мономорфизмом.

Доказательство. Согласно обратным является морфизм

В примере 3.2.22 показано, как классы Сегре возникают геометрически.

Пример 3.1.1. Пусть векторное расслоение ранга линейное расслоение. Тогда

(Отождествим , универсальным подрасслоением Тогда