Глава 10. Семейства алгебраических циклов

Резюме

Пусть - неособая алгебраическая кривая и — морфизм. Любой -цикл на определяет алгебраическое семейство -циклов на слоях

Рационально эквивалентные -циклы на дают рационально эквивалентные -циклы на каждом слое. Основные операции теории пересечений сохраняют алгебраические семейства. Например, если гладкая схема над а алгебраические семейства циклов, то произведение-пересечение также варьируется в алгебраическом семействе. Эти факты являются следствиями общих теорем гл. 6 и понимания а, как образа а при тонком гомоморфизме Гизина, построенного по диаграмме

В такой формулировке можно заменить произвольным многообразием, если только регулярная точка Это доставляет простой метод изучения алгебраической эквивалентности.

Принцип непрерывности, или сохранения индекса, имеет две стороны. Первая — что все циклы из алгебраического семейства нуль-циклов на схеме, собственной над пространством параметров, имеют одну и ту же степень. Вторая, уже упомянутая выше, заключается в том, что операции теории пересечений сохраняют алгебраические семейства.

Тонкая теория пересечений позволяет улучшить классические формулировки этого принципа. Например, объемлющее пространство не обязано быть полным; нужно только, чтобы множество пересечений было собственным над пространством параметров. Это полезно для применений к исчислительной геометрии, когда объемлющее

пространство есть пространство невырожденных геометрических фигур. В последнем разделе рассмотрен пример такого рода: формула для числа кривых в -мерном семействе плоских кривых, которые касаются заданных плоских кривых в общем положении; ответ дается в терминах характеристик семейства, степеней и классов заданных кривых.