Глава 5. Деформация к нормальному конусу

Резюме

Пусть X — замкнутая подсхема схемы Строится семейство вложений параметризованное точками такое, что вложение для (а на самом деле для всех совпадает с заданным вложением а при совпадает с вложением X в нормальный конус в качестве нулевого сечения. Существование такой деформации вместе с «принципом непрерывности», утверждающим, что произведения-пересечения хорошо варьируются в семействах, объясняет важную роль нормального конуса в построении произведений-пересечений.

5.1. Деформация

Пусть - замкнутая подсхема схемы -нормальный конус к Мы построим схему вместе с замкнутым вложением плоским морфизмом : такую, что диаграмма

коммутативна и при этом

(1) над и указанное вложение является тривиальным вложением

(2) Над дивизор есть сумма двух эффективных дивизоров Картье:

где - раздутие вдоль Вложение есть вложение в качестве нулевого сечения, продолженное каноническим открытым вложением С в Дивизоры пересекаются по схеме вложенной в как бесконечно удаленная гиперплоскость как его исключительный дивизор.

В частности, образ не пересекается с Полагая равным дополнению к в мы получаем семейство вложений схемы X:

деформирующее дашое вложение во вложение нулевого сечения

Для построения такой деформации возьмем в качестве раздутие вдоль подсхемы Так как нормальный конус к равен исключительным дивизором этого раздутия будет

Из последовательности вложений

получаем, что раздутие вдоль вкладывается в качестве замкнутой подсхемы в (дополнение В.6.9). Так как дивизор Картье на раздутие вдоль отождествляется с так что мы получаем замкнутое вложение

Аналогично из

получаем, что раздутие схемы вдоль X вкладывается в в качестве замкнутой подсхемы.

Так как проекция плоская, композиция

раздутия с проекцией на также плоская (дополнение В.6.7).

Поскольку изоморфизм вне утверждение (1) очевидно. Описание (2) слоя как суммы дивизоров Картье будет следовать из явного алгебраического описания, даваемого ниже; так как мы уже имеем глобальные вложения и достаточно проверить их структуру локально по У.

Пусть определяется идеалом Для изучения вблизи отождествим где -основное поле. Раздутие вдоль есть где

покрывается аффинными открытыми множествами где кольцо частных

а а пробегает множество образующих идеала Для а исключительный дивизор определяется в локальным уравнением тогда как определяется элементом Так как отсюда следует описание как суммы

Дополнение к в раздутии вдоль есть где

Это кольцо изучалось в работах [Rees 3] и [Gerstenhaber 1]. Канонический гомоморфизм из становится изоморфизмом после локализации по тогда как

Замечание 5.1.1. Очень наглядным является описание этой деформации Макферсоном как частного случая его граф-конструкции. Пусть векторное расслоение над его сечение, схемой нулей которого является (Такое существует, если квазипроективно, хотя его ранг может оказаться больше, чем коразмерность Для каждого скаляра X график прямая в Это дает вложение

(график Деформационное пространство есть на самом деле замыкание в этом вложении. Нам не понадобится такое описание; приведенная выше конструкция проще, ибо опирается лишь на стандартные свойства раздутий. Однако граф-конструкция более мощная, так как допускает обобщение на произвольные отображения векторных расслоений и комплексы векторных расслоений (ср. § 18.1).

Замечание 5.1.2. С точки зрения теории деформаций эта конструкция должна была бы называться деформацией нормального конуса. Однако здесь такая терминология кажется неудачной, ибо мы всегда исходим из вложения Альтернативный термин

«специализация» в нормальный конус сохраняется для соответствующего гомоморфизма циклов или классов циклов (§ 5.2).

Пример 5.1.1. Пусть схема чисто -мерная. Так как схема плоская над то так что в

Здесь —вложение как слоя над — канонические вложения в над

Пример 5.1.2. Предположим, что X регулярно вложено в У, так что является векторным расслоением. Вложение схемы X в имеет несколько преимуществ по сравнению с исходным вложением Например,

(i) существует ретракция из в

(ii) существует векторное расслоение над ранга, равного коразмерности схемы X, и регулярное сечение схемой нулей которого является поэтому на схема X представляет старший класс Чженя расслоения

Обычно для исходного вложения такой ретракции или расслоения нет, даже если заменить открытой окрестностью схемы Деформация к нормальному расслоению может рассматриваться как алгебро-геометрический аналог трубчатой окрестности в топологии.