6.4. Коммутативность

В этом параграфе мы покажем, что тонкие гомоморфизмы Гизина, определенные в § 6.2, коммутируют друг с другом. При помощи раздутий доказательство сводится к случаю дивизоров, рассмотренному в § 2.4.

Теорема 6.4. Пусть - регулярное вложение коразмерности -регулярное вложение коразмерности Пусть схема, —морфизмы. Образуем расслоенную диаграмму

каждый из трех квадратов расслоенный. Тогда для любого имеем

Доказательство. Шаг редукции. Пусть Предположим, что собственный морфизм и а причем Образуем расслоенную диаграмму

где Если то из теоремы следует, что В самом деле, если — морфизмы, индуцированные А, то

По линейности можно считать, что где -подмногообразие в Применяя шаг редукции к вложению можно предполагать, что Пусть - раздутие вдоль Снова по шагу редукции можно считать, что либо X — дивизор Картье на либо Аналогично, раздувая вдоль можно считать, что либо — дивизор Картье на либо

В случае пусть (соотв. ) - обратный образ в (соотв. ) нормального расслоения к По следствию 6.3 гомоморфизмы совпадают с -произведениями на Поэтому по предложению 6.3 получаем

Значит, можно предполагать, что X и (по симметрии) являются дивизорами Картье на Пусть (соотв. избыточное нормальное расслоение над X (соотв. над построенное в § 6.3 для квадрата

Тогда по теореме 6.3, используя обозначения замечания 3.2.2, получаем

Для дивизоров Картье на имеет место фундаментальное равенство

(теорема 2.4). Далее,

и

Поэтому так что получаем

используя коммутативность классов Чженя (теорема Обращая предыдущие рассуждения, мы получаем, что правая часть равна что завершает доказательство.