17.6. Теорема об остаточном пересечении

Рассмотрим диаграмму

с расслоенным квадратом и замкнутыми вложениями Предположим, что

(i) вкладывает как дивизор Картье в остаточная схема к О в 1.

(ii) - регулярные вложения коразмерностей Положим

это классы в соответственно.

Теорема 17.6. В этих обозначениях -

Доказательство. Мы предположим сначала, что так что X есть сумма дивизоров Картье на Пусть и пусть в Тогда (пример 17.4.7)

Из (ii) индукцией получаем, что

Пусть Согласно предложению 17.4.1,

Расписывая получаем

Аналогично, используя пример 3.2.2, получаем

Сравнение дает нужное равенство.

Пусть теперь и пусть — раздутие вдоль Волна над символами подсхем схемы и морфизмов между ними обозначает прообразы и индуцированные морфизмы в Согласно предложению 17.5, достаточно показать, что обе части доказываемого равенства становятся равными после применения Поэтому случай сводится к как только мы проверим, что три члена в соответствующем равенстве для обратных образов соответствуют трем членам в Это очевидно для двух первых членов. Что касается третьего, обозначим через индуцированный морфизм и положим

Так как подрасслоение в (пример 9.2.2) и -подрасслоение в формула Уитни дает

Согласно предложению 17.4.1,

Из (vii) и (viii) получаем

что завершает доказательство в случае

Наконец, если т. е. требуемое равенство превращается в равенство

где Это простое формальное вычисление, использующее пример

Эта теорема об остаточном пересечении влечет за собой многие из предыдущих формул. Кроме формул гл. 9, из нее следует такой

основной факт, как теорема функториальности гл. 6 (ср. пример

17.6.3). Некоторые обобщения приведены в примерах.

Пример 17.6.1. Рассмотрим ситуацию теоремы 17.6.

(a) Если собственный и а то

(b) Для любого

Пример 17.6.2 ([Kleiman 12], 3.6). Имеется полезное обобщение теоремы об остаточном пересечении. Рассмотрим диаграмму из этого параграфа с расслоенным квадратом и замкнутым вложением а. Предположим, что

(i) , где пучок идеалов и проекция.

(ii) л.п.п. морфизмы коразмерности d.

(iii) является морфизмом коразмерности d.

Пусть, кроме того, все схемы вкладываются в гладкие схемы (достаточно даже более слабого предположения, что все морфизмы пропускаются через гладкие отображения). Тогда

где

виртуальные нормальные расслоения к (Разложим на замкнутое вложение и гладкий морфизм Пусть и — раздутие вдоль Тогда остаточная схема к исключительному дивизору в и применима теорема 17.6.)

Пример 17.6.3. Теорему об остаточном пересечении можно использовать для доказательства теоремы функториальности из § 6.5: если регулярные вложения, то (Пусть раздутие вдоль X с исключительным дивизором Остаточная схема в есть раздутие вдоль X (дополнение Достаточно показать, что где -индуцированный морфизм. Используем теорему 17.6 для вычисления и предложение 17.4.1 для вычисления

Пример 17.6.4. Имеется полезное обобщение класса ориентации регулярного вложения. Пусть -замкнутое вложение и - замкнутое вложение нормального конуса в векторное расслоение рангае над Тогда эти данные определяют бивариантный класс с Для данного пусть - индуцированный морфизм. Тогда

Определим как композицию

где - отображение специализации нулевое сечение Иначе говоря,

(Выполнение следует из предложения получается, как в теореме 17.1.)

(a) Если -регулярное вложение коразмерности то

(b) Если - морфизм, то класс, определенный каноническим вложением

Пример 17.6.5. Рассмотрим остаточную диаграмму из этого параграфа, но без всяких предположений относительно вложения Пусть Тогда существует каноническое вложение в (пример 9.2.2). По предыдущему примеру это дает бивариантный класс Тогда

Когда вложение регулярно, это эквивалентно теореме 17.6. (Надо показать, что обе части одинаково действуют на где — произвольный морфизм, применяя теорему 9.2, если Если то пусть -раздутие V вдоль — раздутие вдоль Достаточно проверить, что обе части одинаково действуют на однако V отображается в и применим случай теоремы 17.6. Наконец, если это формальное вычисление, как в случае теоремы 17.6.)

Пример 17.6.6. Рассмотрим диаграмму

с расслоенным квадратом и замкнутым вложением а. Предположим, что регулярные вложения коразмерностей Предположим, что вкладывается в гладкую схему. Пусть остаточная схема к т. е. что пучок идеалов схемы совпадает с аннулятором пучка идеалов схемы Пусть вложение Положим

где нормальные расслоения для Существует канонически определенный класс такой, что

(Пусть раздутие вдоль с исключительным дивизором Пусть остаточная схема к а индуцированный морфизм. В предыдущем примере был построен класс Тогда и можно положить