Замечания и литература

Для дивизоров на неособом многообразии рациональная эквивалентность совпадает с линейной эквивалентностью, и эта тема долго была центральной в алгебраической геометрии. Для -циклов на кривой это приводит к изучению многообразия Якоби. Большая часть итальянской школы алгебраической геометрии занималась изучением линейных систем кривых на поверхностях.

Понятие рациональной эквивалентности для циклов большей коразмерности было предложено Севери. Важным классическим средством служил класс канонического дивизора. В своей основополагающей работе 1932 г. [Severi 6] Севери открыл, говоря современным языком, что второй класс Чженя поверхности является не просто числом, а -циклом, определенным с точностью до рациональной эквивалентности. Многие последующие работы Севери, а также Б. Сегре, Эгера и Тодда были посвящены развитию идеи рациональной эквивалентности циклов произвольной размерности и построению «канонических» классов во всех размерностях.

Решающим в этих исследованиях было построение произведения-пересечения двух классов циклов на неособом многообразии. Например, пересечение канонических классов приводит к численным инвариантам, обобщающим индекс самопересечения канонического дивизора на поверхности. Связанные с этим проблемы обсуждаются в последующих главах.

Севери предложил несколько определений рациональной эквивалентности. Одна из трудностей вызывалась желанием выражать все в терминах рациональных семейств положительных циклов (ср. примеры 1.6.2, 1.6.3). Видимо, побуждаемый идеями Лефшеца в топологии, Тодд ([Todd 2]) явно ввел понятия группы виртуальных циклов и подгруппы циклов, рационально эквивалентных нулю. Этот простой прием привел к значительному прояснению ситуации. Предлагались другие определения, при которых рациональная эквивалентность

порождалась пересекающимися семействами рационально эквивалентных дивизоров. Обсуждение этих идей можно найти в работах [Severi 14, 19] и [Baldassarri 1]. Попытки согласовать различные определения и развить удовлетворительную теорию рациональной эквивалентности с пересечениями вызвали большую полемику между Севери, Ван дер Варденом, Самюэлем и Вейлем (ср. [van der Waerden 5, 6]).

Вейль ([Weil 5]), Самюэль ([Samuel 3]) и Чжоу ([Chow 1]) начали систематическое изучение отношений эквивалентности на циклах, опираясь на новые основания из работы [Weil 2]. Многие интуитивные геометрические понятия Севери, связанные с семействами циклов, были заменены точным алгебраическим языком специализации; был предложен более аксиоматический подход к отношениям эквивалентности циклов. В статье Чжоу дано приемлемое доказательство того, что на классах рациональной эквивалентности (на неособом проективном многообразии) определено пересечение. Его доказательство использует «лемму о сдвиге», основанную на конструкции Севери.

Рациональной эквивалентности был посвящен семинар Шевалле 1958 г. В его заметках [Chevalley 2] теория развивается из первооснов, без ссылок и даже упоминаний предшествующих работ на эту тему; кольцо классов рациональной эквивалентности там названо «кольцом Чжоу». Этот разрыв с прошлым в какой-то мере объясняется кризисом оснований, наблюдавшимся тогда в алгебраической геометрии. При этом рациональная эквивалентность и теория пересечений использовались как пробный камень для проверки пригодности новых оснований. Было бы большой потерей, если бы пионерская работа Севери в этой области была забыта. Если бы неполнота или наличие ошибок послужили основанием для отклонения работы Севери, то уцелело бы лишь немногое из последующих статей о рациональной эквивалентности.

Хотя в большинстве работ по рациональной эквивалентности объемлющее многообразие предполагалось неособым, Шевалле ([Chevalley 2]) и Гротендик ([Grothendieck 1]) отмечают, что понятие рациональной эквивалентности и некоторые ее основные свойства можно распространить на особые многообразия. Эти идеи разрабатывались в первой части работы на которой и основана гл. 1. В доказательстве сохранения рациональной эквивалентности при гомоморфизме прямого образа мы следовали работе точная последовательность из § 1.8 и предложение 1.9 есть в статье Прямое доказательство совпадения современного и результантного определений кратностей пересечения для плоских кривых (пример 1.2.2) представляется новым. Другой вариант,

обсуждаемый в примере 1.6.5, предложен Клейманом. Лазарсфельд предложил пример 1.9.5.

Несмотря на формальную аналогию с группами гомологий, группы гораздо труднее вычислить. Некоторая литература по этому вопросу обсуждается в гл. 19. С другой стороны, равенство в намного тоньше, чем аналогичное равенство в гомологиях. Для -циклов на кривой это различие отражается якобианом; о применении этого принципа см. пример 14.4.6. Кроме того, точная последовательность из § 1.8 более полезна, чем аналогичная длинная точная последовательность гомологий. О применениях к аффинным и проективным поверхностям см. [Murthy - Swan 1]. Коллино ([Collino 1]) вычислил где X — симметрическая степень неособой кривой.