Замечания и литература

Мы отметим лишь несколько в обширной литературе, посвященной остаточным пересечениям и формулам двойных точек. Заинтересованный читатель в цитированных работах найдет много дополнительных ссылок и сотни примеров.

Насколько нам известно, первые задачи об избыточных пересечениях были сформулированы в 1847 г. Сальмоном в работе [Salmon 1], хотя более ранние упоминания можно найти в статье [Jacobi 1]. Для нахождения степени двойственной поверхности к поверхности с кратной кривой он рассуждает, как в примере 9.3.11, и приходит к общей задаче нахождения «эквивалента» кривой для трех поверхностей, ее содержащих. Этот эквивалент вместе с числом точек пересечения поверхностей вне данной кривой должен давать произведение степеней рассматриваемых поверхностей. Эти идеи развивались затем в работе [Salmon - Fiedler 1].

Более общие формулы такого рода были даны Кэли ([Cayley 2, 3]). Он показал также, что многие исчислительные задачи — такие, как задача о числе кривых в семействе, касающихся данного набора кривых, — можно сформулировать как задачи об избыточных пересечениях (ср. пример 9.1.9 и § 10.4). Кэли отметил также, что такие задачи об избыточных пересечениях могут быть очень трудными. М. Нётер продолжил работы Сальмона и Кэли.

Однако впечатляющие достижения великих геометров, таких, как Шаль, Шуберт и Цейтен, были получены не на пути, который предложил Кэли. Выражаясь современным языком, они применяли теорию пересечений на подходящих раздутиях исходных пространств, где собственные прообразы гиперповерхностей, соответствующих данным геометрическим условиям, пересекались уже собственно. На самом деле, однако, эти пространства параметров явно не упоминались, и теория пересечений применялась чисто формальным, символическим образом. Тем не менее трудно примирить ясность и четкость формулировок Кэли с яростным спором полстолетия спустя о таких фундаментальных проблемах, как принцип непрерывности. Надо сказать, что существовала непримиримая конкуренция между синтетическим и аналитическим подходами к геометрии, ср. [Chasles 4], с. 1168.

Задачи об остаточных пересечениях были рассмотрены в девятнадцатом столетии сразу многими исследователями, в частности Нетером, Пиери, Капорали и Бертини. Совершенно общие пересечения в проективном пространстве были рассмотрены в работе [Severi 2]. Сегре ([Segre В. 1]) и Тодд ([Todd 3]) обобщили их на случай произвольных объемлющих многообразий размерности 3 и 4 и распространили результаты Севери от численных равенств до равенств по модулю рациональной эквивалентности. Тодд ([Todd 6]) дал вариант теоремы об остаточных пересечениях в высших размерностях, а Сегре ([Segre 4]) - общие формулы для эквивалентов, или вкладов. Много приложений можно найти в книгах [Salmon 3], [Enriques - Chisini 1], [Semple - Roth 1] и [Baker 1,2].

Классический подход к проблеме можно проиллюстрировать случаем, рассмотренным Сальмоном: вычислить вклад кривой, являющейся компонентой пересечения трех поверхностей в Две из этих поверхностей содержат исходную кривую вместе с другой кривой Сначала по инвариантам и поверхностей определяется степень и род а также число пересечений пример 9.1.12). Вычитая затем из общего (по Безу) числа пересечений третьей поверхности с мы получаем число пересечений трех поверхностей вне

Такие индуктивные доказательства используют некоторые неявные предположения. Например, остаточная кривая предполагается, видимо, неособой или хотя бы приведенной и пересекающей трансверсально. В противном случае точки из следует считать с кратностями; однако тогда не столь очевидно равенство двух различным способом вычисленных значений числа на котором основано доказательство. Аналогичные проблемы встают во многих приложениях теории пересечений, рассматривавшихся геометрами-классиками.

Задача, с которой мы столкнулись в этом обсуждении, о сравнении свойств интересна сама по себе. Она привлекла внимание как задача о сцеплении (linkage, liaison). О подходе к этой задаче, использующем гомологическую алгебру, см. [Peskine - Szpiro 1] и [Rao 1]. Другие свойства остаточных схем доказаны в работе [Artin - Nagata 1] (ср. [Hunecke 3]). Хиронака ([Hironaka 1]) использовал вычетные конструкции для сглаживания циклов.

Использование современной формулы избыточного пересечения позволяет избавиться от проблем с общим положением, возникающих в классических индуктивных рассуждениях. Подход, которому мы следуем здесь, связан с методом из работы [Segre 4]; он подтверждает гипотезу Сегре, что общий вклад можно вычислять чисто в терминах «ковариантов» (классов Сегре) участвующих многообразий (см., однако, пример 9.1.10).

Формулы двойных точек также имеют долгую историю, восходящую к формуле Клебша для рода плоской кривой (ср. пример 9.3.2). Севери ([Severi 2]) дал общие численные формулы для проекций в проективные пространства, переоткрытые в работах [Holme 1] и [Peters - Simonis 1]. Тодд ([Todd 6]) дал формулу для класса рациональной эквивалентности циклов двойных точек, основанную на его формуле остаточного пересечения. Распространение ее на морфизмы произвольных неособых многообразий и простой подход, которому мы следуем здесь, стали возможны благодаря вычетной конструкции схемы двойных точек, принадлежащей Лаксову ([Laksov 3]).

Обобщение на особые многообразия было проделано Хольмом, Джонсоном, а также Фултоном и Лаксовом (см. пример 9.3.6). Работа

[Kleiman 12] содержит вариант теоремы об остаточном пересечении, которая применяется для доказательства формулы для тройных точек и множеств более высокой кратности (ср. пример 17.6.2). Мы отсылаем к статье [Kleiman 8] по поводу истории формул кратных точек. В работе [Ran 2] недавно дано новое применение формулы остаточного пересечения для доказательства формул о секущих и кратных точках.

Большинство применений к классическим проблемам было заново разработано в примерах § 9.1, хотя случай коник, касающихся пяти данных (пример 9.1.9), содержится в статье [Fulton - MacPherson 2], а применение к мультисекущим (пример 9.1.13) взято у Ле Барца. Пример 9.3.3 предложен Лазарсфельдом, а пример 9.3.14 — Раном. Применение к кривым в не являющимся схемным пересечением гиперповерхностей (примеры и 9.1.3), вероятно, новое.

Теорема об остаточном пересечении в § 9.2 основана на конструкции из работы [Laksov 3]. Оригинальная теорема накладывала более стеснительные требования на остаточную схему, которые постепенно ослаблялись по мере улучшения техники в теории пересечений (ср. [Fulton 6], [Fulton - Laksov 1], [Kleiman 12], [Fulton - MacPherson 3]). Настоящая теорема 9.2 впервые не содержит никаких предположений об остаточной схеме. Следствие 9.2.1 также новое, если остаточная схема имеет большую размерность, чем должна была бы иметь. Следствия 9.2.2 и 9.2.3 ранее не встречались.

Аналогично в теореме 9.3 впервые допускается, чтобы множество двойных точек имело произвольную размерность. Доказательство следует работе [Fulton - Laksov 1] и основано на фундаментальной конструкции Лаксова.

Вычисление классов Сегре особых подсхем в примере 9.3.7, вероятно, новое; численные формулы в случае даны в статье [Piene 2].

Конструкция и простое доказательство формулы ветвления в примере 9.3.12 также новые. Она обобщает формулу из работы [Johnson 1] на произвольные морфизмы без ограничений на множество ветвления.

Следует отметить, что изредка встречаются другие предложения о сопоставлении чисел компонентам пересечения, когда их размерность превышает ожидаемую. Севери ([Sever! 7]) обсуждал это в случае отрицательной ожидаемой разности, Самюэль ([Samuel 1]) дал определение, использующее его алгебраические кратности. Эти определения, несмотря на их достоинства, нарушают принцип непрерывности и поэтому требуют привлечения иных понятий, чем те, которые рассматривались в классической теории пересечений или в этой книге.