14.4. Формула Тома — Портеуса

Пусть гомоморфизм векторных расслоений над чисто -мерной схемой Мы построим класс вырождения

где есть множество вырождения. Пусть грассманиан -плоскостей в пусть проекция и универсальное подрасслоение в Композиция

определяет сечение, обозначаемое расслоения Множество нулей отображается на пусть индуцированный морфизм. Локализованный старший класс Чженя принадлежит так как Положим

Теорема 14.4. (а) Образ равен

(b) Каждая неприводимая компонента множества имеет коразмерность не более в Если , то положительный цикл с носителем

(c) Если — схема Коэна—Маколея, то также схема Коэна-Маколея и .

(d) Образование (a) коммутирует с отображениями Гизина и собственными прямъши образами.

Доказательство. Интерпретация и доказательство (d) те же, что и в теореме 14.3. Так как

(а) следует из предложения 14.2.2 (ср. пример 14.2.1).

Для доказательства мы предположим, что содержит флаг вида В этом случае как схемы. Мы утверждаем, что также Чтобы показать это, образуем расслоение флагов и пусть

— канонический бирациональный морфизм, построенный при доказательстве предложения 14.2.2, с Пусть сечение используемое при построении Тогда

согласно предложению 14.1(d) (iii). Теперь следуют из соответствующей части теоремы 14.3.

В общем случае, согласно принципу расщепления, существует морфизм (последовательность проективных расслоений), такой, что содержит флаг требуемого вида. Так как согласно утверждение для влечет за собой утверждение для а.

Как и в замечании можно определить как где сечение заданное а, — тавтологический гомоморфизм на Аналогично получаем такое

Следствие 14.4. Классы однозначно определяются свойствами теоремы 14.4.

Позже мы увидим, что классы на самом деле лежат в некоторых бивариантных группах, которые лучше отражают их «когомологическую» природу (ср. пример 17.4.2). Это даст также более точную формулировку утверждения (d) о коммутировании с другими операциями теории пересечений.

Пример 14.4.1. Если то

Тогда имеет коразмерность не более и

Пример 14.4.2. Локализованные классы Чженя. Пусть векторное расслоение ранга над -мерным многообразием сечения Положим

Тогда обладает естественной схемной структурой, все компоненты имеют размерность в X и имеется класс такой, что

Если то положительный цикл с носителем Если сечения всюду независимы, то так что Если и X — схема или то Образование коммутирует с отображениями Гизина и собственными прямыми образами. (Сечения определяют морфизм тривиального расслоения ранга

Пример 14.4.3. Геометрическая конструкция классов Чженя. Пусть векторное расслоение ранга над квазипроективным многообразием X над алгебраически замкнутым полем.

(i) Для подходящего линейного расслоения существуют сечения расслоения такие, что для любого множество

имеет чистую размерность в X или пусто и

(Выберем так, чтобы порождалось сечениями, и будем рассуждать как в примере 14.3.2(d).)

(ii) Классы определяются по формулой (пример 3.2.2)

Конечно, если это принять за определение классов Чженя, то для проверки корректности определения нужно проделать работу, аналогичную проделанной в гл.З

Пример 14.4.4. Если цикл множества то В общем случае

и равенство достигается тогда и только тогда, когда (Обозначения и доказательство те же, что в примере 14.3.1.)

Пример 14.4.5. Специальные дивизоры (ср. [Kempf 1], [Kleiman - Laksov 2,3], [Arbarello - Cornalba - Griffiths - Harris 1]). Пусть якобиан кривой в обозначениях примера 4.3.3. Пусть множество классов специальных дивизоров:

Пусть — расслоение Пуанкаре над нормализованное тривиальностью над Положим

где проекции. Пусть Из точной последовательности

на С, применяя получим точную последовательность

Для расслоения локально свободные рангов соответственно и Применяя формулу Портеуса к получаем, что существует класс

образ которого в равен Так как последовательное расширение тривиальных расслоений, Согласно примеру Поэтому

Если то Как так и не зависят от выбора

Формула Пуанкаре утверждает, что численно (или гомологически) эквивалентен 0, где Отсюда следует (ср. пример А.9.3), что численно эквивалентен

В частности, если

Непустота следует также из того факта, что обильное векторное расслоение (ср. пример 12.1.6 и [Fulton - Lazarsfeld 2]).

В работе [Griffiths - Harris 2] показано, что если С — кривая с общими модулями, то приведенное размерности Пользуясь специализацией, как в примере 12.2.3, можно получить отсюда, что для любой кривой С класс представим положительным циклом при

Если С — гладкая над основным полем кривая и рациональная точка, рассуждения гл. 13 можно применить к этим классам. Если множество содержит -цикл степени где

(На самом деле представляется таким циклом.) Например, если основное поле есть нечетно, то должно содержать вещественные точки.

Пример 14.4.6 ([Beauville 3]). Сохраняя обозначения предыдущего примера, предположим, что Тогда

Бовиль доказал, что если гомоморфизм из примера положительные целые числа, дающие в сумме

где К — канонический дивизор. Поэтому

Если конечно, оно содержит не более точек. Действительно, есть -цикл степени Если С имеет общие модули, состоит из различных точек.

Пример 14.4.7. Избыточная формула Портеуса. Пусть и к — целое число, такое, что Тогда над

имеется точная последовательность

где векторные расслоения рангов . Тогда

. Если локально полное пересечение в X коразмерности d с нормальным расслоением то

где (Пусть такие же, как перед следствием открытая подсхема, состоящая из отображений ранга k. Положим Над имеется точная последовательность

регулярно вкладывается в с нормальным расслоением (ср. [Ronga 1]). По предположению отображает Класс можно построить по расслоенному квадрату

с помощью теоремы 6.4. Так как ограничиваются до на нужные утверждения следуют из основных формул для избыточного пересечения (§ 6.1, 6.3).) Изучение классов Чженя расслоений см. в работе

Пример 14.4.8. Пусть морфизм неособых многообразий. Пусть

т. е. где ассоциированное отображение касательных расслоений. Если то . Схема несет класс циклов с

В случае мы получаем снова формулу для класса ветвления (пример 9.3.12).

Если то класс был построен в примере 14.1.5.

При подходящих предположениях трансверсальности формулу Портеуса можно использовать для изучения высших особенностей Тома — Бордмана (ср. [Lascoux 6], [Ronga 1]).

Когда задается линейной системой без базисных точек. О более общих линейных системах см. [Porteous 3] и [Piene 3].

Пример 14.4.9. Пусть гомоморфизм векторных расслоений и двойственный гомоморфизм. Тогда

(Класс удовлетворяет и равен по следствию 14.4.) Это соответствует формальному тождеству (лемма

Замена на в левой части (ii) меняет знак на и дает другое выражение для теоремы

Пример 14.4.10. Можно предложить другую конструкцию для Пусть грассманиан -плоскостей в -его проекция на универсальное факторрасслоение расслоения Композиция

определяет сечение расслоения Тогда отображается на где ограничение на (Обозначим правую часть через При каноническом изоморфизме двойственности между сечение соответствует сечению построенному по двойственному гомоморфизму Поэтому и все следует из примера 14.4.9.)

Пример 14.4.11. Симметрические и кососимметрические множества вырождения (ср. [Harris - Tu 1], [Jozefiak - Lascoux - Pragaczl]). Пусть векторное расслоение ранга над чисто -мерной схемой Отображение расслоений называется симметрическим, если Такое соответствует сечению расслоения Пусть k. Существует подконус коразмерности который локально задается обращением в нуль всех -миноров соответствующей симметрической -матрицы.

Для заданного симметрического пусть обозначает множество точек, в которых ранг не больше k. Определим формулой

Для этих классов остаются верны аналоги теоремы 14.4 и примера 14.4.4, в которых утверждение (а) заменяется формулой

Аналогично, если кососимметрическое, т. е. множество тех точек из X, в которых ранг не более к, к четно, то конструируется класс где

(Пусть универсальное подрасслоение над Тогда подрасслоение в и

Аналогичная формула имеет место для вместо Для вычисления этих формул Гизина мы отсылаем к упомянутой литературе, см. также пример 14.5.1. Доказательство, более близкое линии § 14.4, дано Дамоном (J. Damon, не опубликовано).)

Имеются полезные обобщения этих формул на случай симметрических и кососимметрических отображений в где линейное расслоение, за которыми мы отсылаем читателя к работе [Harris - Tu 1].

Пример 14.4.12. Для положительных целых чисел многочлен характеризуется как единственный многочлен веса такой, что для любых векторных расслоений рангов

Если гомоморфизм векторных расслоений над X, то представляет Формула Портеуса утверждает, что тот же многочлен работает и для высших множеств вырождения: если имеют ранги к то

Аналогично, для положительного целого а есть единственный многочлен веса такой, что для любого векторного расслоения А ранга а

(см. пример 14.5.1). Если симметрическое, это означает, что представляет Формула предыдущего примера утверждает, что для любого расслоения ранга к а и симметрического

Аналогичное утверждение верно в кососимметрическом случае. Существует ли доказательство этих трех формул, использующее только приведенные выше характеризации привлеченных многочленов?

Пример 14.4.13. Положительность классов вырождения. Предположения положительности расслоения дают аналогичную положительность классов Пусть

(a) Если порождается своими сечениями, то представляется неотрицательным -циклом на .

(b) Если обилен и обильное линейное расслоение, то

В частности, если обильно и то для любого а (пример 12.1.5). Соответствующие утверждения выполняются для симметрических и кососимметрических отображений расслоений. (Реализуем как пересечение сечения с универсальным множеством вырождения на и применим теорему 12.1.)

Пример 14.4.14 ([Giambelli 2, 3], [Harris - Tu 1]). Пусть Многообразие -матриц по модулю умножения на скаляры образует проективное пространство Пусть подмногообразие матриц ранга k. Тогда

(Применим формулу Портеуса к на Для вычисления получающегося определителя используем пример А.9.4.) Аналогичные формулы имеются для многообразия симметрических и кососимметрических матриц. Для ссылок на классическую литературу см. [Baker 2], с. 111.

Пример 14.4.15. Классы, ранги и полярные множества.

(a) Пусть X — неособое -мерное подмногообразие в и линейное подпространство в размерности Для положим

Для общего пространства подсхема в X имеет коразмерность и

(Как в примере 14.3.3, пусть Существует канонический морфизм из множество, где этот морфизм имеет ранг не более

Случаи с дают формулы для полярных классов многообразия Фиксируем и пусть подпространство размерности Положим

Для общего пространства коразмерность в X равна называется полярным множеством. Для общего

класс многообразия X определяется как степень для общего пространства Предыдущая формула уточняет формулу для приведенную в примере 14.3.3. Другие подходы и обобщения на особые многообразия см. в примере 4.4.5, а также в работах [Todd 8], [Pohl 1], [Porteous 3], [Piene 3] и [Kleinian 8].

(c) Случаи, где дают ранги Фиксируем пусть и положим

Тогда для общего и

ранг многообразия X определяется как степень для общего Это уточняет формулу для данную в примере 14.3.3. Заметим, что если проекция с центром в то множество ветвления рассмотренное в примере 14.4.8.

Например, если X — кривая в ее (первый) ранг есть число касательных к X, пересекающих общую -плоскость. Если и род X, то этот ранг равен

Пример 14.4.16. Пусть -векторное расслоение ранга над -мер-ным многообразием X с подрасслоением А ранга а. Пусть грассманиан -плоскостей в следующая подсхема в

Пусть Тогда имеет чистую коразмерность и обладает естественной схемной структурой, так что

Здесь универсальное факторрасслоение над их — проекция в (Если каноническое отображение то есть Эта схема задает цикл, как в примере 14.3.1.)

Пример 14.4.17. Линейные системы на кривых (ср. [Schwarzenber-ger 2], [Arbarello - Cornalba - Griffiths - Harris 1]).

(a) Пусть С — неособая проективная кривая и линейное расслоение над С. Подпространство размерности определяет -мерную линейную систему на С. Положим

состоит из таких эффективных дивизоров степени которые накладывают не более условий на Тогда можно следующим образом реализовать как множество вырождений. Пусть 3 универсальный дивизор: Пусть проекции из 3 в Положим

Тогда расслоение ранга d над слой которого в равен Существует канонический гомоморфизм векторных расслоений над В силу формулы Портеуса (теорема 14.4) существует класс где такой что

(b) Класс Чженя или многочлен Чженя можно вычислить следующим образом. Для пусть образ вложения

Пусть класс Для линейного расслоения на С положим

где дивизор, представляющий расслоение Тогда

где К — каноническое линейное расслоение над как в примере 4.4.3. Так как все алгебраически эквивалентны то

по модулю алгебраической эквивалентности, где По модулю гомологической или численной эквивалентности формула Пуанкаре дает

где (Если то следует из примера Для точки на С существует точная последовательность

так что Отсюда следует, что выполнение формулы (i) для эквивалентно выполнению ее для поэтому достаточно проверки для одного расслоения К.) Формула (iii) доказана с помощью теоремы Гротендика — Римана — Роха в работе где можно найти и некоторые ее исчислительные применения.