17.2. Операции и свойства

Для бивариантных групп есть три основные операции.

(P) Умножение. Для любых морфизмов и целых чисел существует гомоморфизм

Образ с обозначается Для данного образуем расслоенную диаграмму

Если а то Определим полагая

Прямой образ. Если -собственный морфизм, морфизм и целое число, существует гомоморфизм

Для образуем диаграмму Если то Так как собственный, Определим формулой

Обратный образ. Пусть даны Образуем расслоенный квадрат

Для каждого существует гомоморфизм

Пусть даны с тогда можно образовать композицию с морфизмом Поэтому Положим

Легко проверить, что во всех трех случаях определяют бивариантный класс в соответствующей группе, т. е. что выполняются свойства определения 17.1. Эти три операции удовлетворяют следующим семи аксиомам, что проверяется непосредственно на основе функториальных свойств из гл. 1 и 6.

(А) Ассоциативность умножения. Если с то

(А) Функториальность прямого образа. Если собственные морфизмы, произвольный морфизм и то

(А) Функториальность обратного образа. Если с то

где

(А) Умножение коммутирует с прямыми образами. Если собственный, а произвольные морфизмы и то

Умножение коммутирует с обратными образами. Если

— морфизм, образуем расслоенную диаграмму

Тогда

Прямой образ коммутирует с обратным. Если — собственный морфизм, морфизмы и дан

с то в обозначениях предыдущей диаграммы

(А) Формула проекции. Пусть дана диаграмма

с собственным и расслоенным квадратом. Если то