В.4. Дивизоры Картье

Литература по этому вопросу: [EGA], IV.20, [Mumford 2], [Kleiman 9].

В.4.1. Пусть X — алгебраическая схема. Для каждого аффинного открытого множества обозначим через полное кольцо частных координатного кольца т. е. локализацию по мультипликативной системе неделителей нуля. Это определяет пред-пучок на ассоциированный с ним пучок обозначим через Пусть обозначает (мультипликативный) пучок обратимых элементов в пучок обратимых элементов в

Дивизором Картье на X называется сечение пучка Дивизор Картье определяется набором открытых аффинных множеств покрывающих X, и элементами из такими, что сечения над Эти функции называются локальными уравнениями дивизора Дивизоры Картье образуют группу которая записывается аддитивно.

В.4.2. Носитель дивизора (обозначается или состоит из точек для которых локальное уравнение не принадлежит

Носитель как и носитель сечения любого пучка, является замкнутым подмножеством схемы X.

В.4.3. Дивизоры Картье, соответствующие глобальным сечениям пучка называются главными.

Если X — многообразие, пучок постоянный со слоем Главный дивизор функции обозначается Так как носитель дивизора является собственным замкнутым подмножеством в X, имеется только конечное число подмногообразий коразмерности 1, таких, что .

В.4.4. Дивизор Картье на схеме X определяет линейное расслоение над X, которое обозначается через или Пучок сечений можно определить как - подпучок в который над порождается функцией Иначе говоря, переходные функции для относительно покрытия равны

Канонический дивизор на неособом -мерном многообразии X — это дивизор, линейное расслоение которого есть

Дивизор Картье называется эффективным, если его локальные уравнения являются сечениями пучка на В этом случае существует так называемое каноническое сечение расслоения которое обозначается через Если рассматривать как подпучок в то соответствует сечению 1; относительно покрытия сечение задается набором функций которые, очевидно, удовлетворяют соотношению на Сечение обращается в нуль только на носителе

Для произвольного дивизора Картье на схеме X пусть будет дополнением к носителю Тогда над существует каноническое сечение расслоения нигде не обращающееся в нуль; его мы также обозначим через (Это сечение канонически продолжается до «меро-морфного» сечения расслоения над X с полюсами в точках неэффективности