20.4. Тог и произведения-пересечения

Пусть X — регулярная схема, а подмногообразия (замкнутые целостные подсхемы) в Пучки расположены на и потому определяют элементы группы Гротендика когерентных пучков на (ср. пример Положим

Пусть неприводимая компонента с приведенной структурой. Любой элемент а из можно записать в виде

где вполне определенное целое число, линейная комбинация пучков, носители которых не содержат Серр доказал, что

Если собственная компонента, т. е. если верхнее неравенство превращается в равенство, Серр определяет индекс пересечения по формуле

Индекс пересечения, очевидно, коммутативен по ожидаемая формула ассоциативности следует из спектральной последовательности для Гипотеза Серра, что это число всегда положительно, остается одним из нерешенных вопросов в коммутативной алгебре (ср. пример 20.4.2).

Если X — гладкое многообразие над полем, это определение совпадает с приведенным в гл. 8. Для доказательства можно сделать

редукцию к диагонали, и тогда оба члена совпадут с кратностью, получаемой из комплекса Кошуля (ср. пример 7.1.2 и [Serre 4], V.C).

Более общо, без предположений о собственности пересечения Тог определяет тонкий класс пересечения, по крайней мере с точностью до кручения. Пусть X — гладкое многообразие над полем, подмногообразия в Положим так что тонкий класс пересечения принадлежит (§ 8.1). Пусть

— отображение Римана — Роха из гл. 18. Тогда (пример 18.3.13(b)) члены размерности

Пример 20.4.1 ([Fulton - MacPherson 1], § 6). В обозначениях последнего абзаца

Неизвестно, верно ли это, когда X — произвольная регулярная схема. Серр предположил также, что для любой неприводимой компоненты пересечения размерность которой больше этот вопрос также открыт.

Пример 20.4.2. Пусть X — регулярная схема и неприводимая компонента Пусть А — локальное кольцо В работе [Serre 4],, доказана положительность в случае собственного пересечения и обращение его в нуль для несобственного пересечения при дополнительном предположении, что все локализации А равнохарактеристические или неразветвленные. Этот вопрос обсуждается также в статьях [Nastold 1] и [Malliavin 1].

Когда А — локальное регулярное кольцо, вопрос Серра эквивалентен положительности или обращению в нуль выражения

для конечно порожденных -модулей Надежды, что это верно для любого локального кольца А, если или имеет конечную свободную резольвенту, были разбиты недавним примером из работы [Dutta - Hochster - McLaughlin 1]. Заметим, что в силу плоскостности пополнения А над А вопрос можно рассматривать для полных регулярных локальных колец.

Пример 20.4.3. Пусть X — регулярная схема, собственная компонента Предположим, что регулярна и что теоретикомножественно (это не уменьшает общности, так как X можно заменить ее открытой подсхемой). Пусть раздутие

X вдоль исключительный дивизор и индуцированный морфизм. Пусть собственные прообразы в Тогда

Естественно предположить, что, как в геометрическом случае (теорема 12.4), второй член всегда так что

(Кратности и определяются, как в геометрическом случае. Доказательство приведенное в § 12.5, работает и без предположения о базисном поле. Однако доказательство неотрицательности второго члена использует редукцию к диагонали и не проходит для общих схем.)

Частным случаем является формула

когда пусто. Она была доказана в работе [Tennison 1].

Определение Серра распространяется на собственные пересечения более чем двух многообразий, так же, как и другие результаты этого параграфа.

Пример 20.4.4. Пусть подмногообразия произвольной схемы компонента Образуем формальный степенной ряд

Если X регулярна и собственна, то Можно ли определить в других случаях, пользуясь, скажем, аналитическим продолжением? Связано ли это с дробными кратностями пересечений (ср. пример 7.1.16)?