4.1. Класс Сегре конуса

Пусть -конус над схемой X, т. е. где пучок градуированных -алгебр; предполагается, что сюръективно, когерентен и порождается Пусть

— проективное пополнение конуса С с проекцией каноническим линейным расслоением Подробнее о конусах см. дополнение В.5.1.-В.5.4.

Класс Сегре конуса С, обозначаемый это класс в определяемый формулой

Предложение 4.1. (а) Если векторное расслоение над X, то

где полный класс Чженя

(b) Пусть неприводимые компоненты геометрические кратности Тогда

Доказательство, (а) Так как данное выше определение согласуется с определением из §3.2. Кроме того, по формуле Уитни.

(b) Так как каждый конус является открытым и плотным в (ср. дополнение В.5.З.),

откуда и следует нужное утверждение. Заметим, что класс циклов на носителе конуса и равенство в (b) понимается в смысле соглашения 1.4.

Пример для любого конуса С.

Пример 4.1.2. Предположим, что конус С чисто -мерный и непусто для любой неприводимой компоненты Тогда

где - проекция. (Следует использовать лемму 1.7.2 и предложение 4.1(b); согласно дополнению

Пример 4.1.3. Хотя и следует ожидать появление компонент нормального конуса над «специальными» подмногообразиями схемы

X (ср. пример 4.2.2), такие компоненты не обязаны присутствовать. Пусть, например, и X есть объединение двух -плоскостей, трансверсально пересекающихся в начале координат. Тогда имеет две (приведенные) неприводимые компоненты, и слой над началом координат изоморфен

Пример 4.1.4. Пусть пространство линейных отображений в А” с координатами Пусть подпространство отображений ранга (ср. лемма Для каждого введем переменную и пусть соответствующий минор матрицы Переводя мы получаем вложение

Градуированное кольцо конуса С приведено. В силу соотношений Плюккера содержится в где грассманиан -плоскостей в Действительно,

Пример 4.1.5. Если конусы над X, определяемые пучками алгебр и то конус определяется пучком алгебр Если С — конус, а -векторное расслоение, мы пишем вместо . В этом случае

(Надо свести все к случаю неприводимого конуса С с непустым пополнением Пусть проекция Существует регулярное сечение расслоения над схема нулей которого совпадает с Согласно примеру 3.2.16, если то

Поэтому

Пример 4.1.6. Точная последовательность конусов. Рассмотрим конусы над схемой X, такие, что Морфизм : задается гомоморфизмом пучков градуированных алгебр. Пусть векторное

расслоение над где пучок локально свободен. Пусть даны морфизмы Последовательность

называется точной, если : инъективен, сюръективен и если локально по X существует локально свободный подпучок в отображающийся на при и такой, что индуцированное отображение является изоморфизмом.

(a) Главные свойства этого понятия: (i) Последнее условие из определения не зависит от выбора Точность обратных образов при плоской замене базы Если становится точной при строго плоской замене базы, то точна. В частности, достаточно проверять точность при заменах базы на для всех

(b) Если -конус над плоский над ограничение на то

(c) Для точной последовательности конусов

(Пункт (а) доказывается непосредственно. (b) следует из того факта, что и для где вложение в качестве слоя над V, по поводу более общего утверждения см. пример 10.1.10. Чтобы проверить (с), достаточно, согласно и примеру 4.1.5, найти конус над плоский над для которого и Пусть -проекция. Определим как замкнутую подсхему в заданную локально однородным идеалом в порожденным

Используя локальное расщепление можно проверить, что плоский конус над

Пример 4.1.7 (ср. [Fulton - Johnson l). Когерентный пучок на схеме X определяет конус

Определим класс Сегре пучка как класс Сегре его конуса Если

— точная последовательность пучков с локально свободным пучком то

где векторное расслоение с пучком сечений . (Соответствующая последовательность конусов точна в смысле примера 4.1.6.)

Пример 4.1.8. Пусть -чисто -мерный замкнутый подконус векторного расслоения ранга над Пусть нулевое сечение соответствующий гомоморфизм Гизина Тогда

(Надо использовать предложение 3.3 с См. предложение 6.1 по поводу обобщений.

Когда многообразие X неособо и кокасательное расслоение, такие конусы с возникают как характеристические многообразия голономных -модулей, и пересечение с нулевым сечением является важным инвариантом (ср. [Brylinski - Kashiwara 1]).