1.6. Другое определение рациональной эквивалентности

Пусть X — схема, декартово произведение и -проекция. Пусть V есть -мерное подмногообразие в доминантно проектирующееся на второй сомножитель, и соответствующая проекция. Для любой точки рациональной над основным полем, схемный является подсхемой в которая при помощи изоморфно проектируется на подсхему в X, которую мы обозначим через Заметим, что

Морфизм определяет рациональную функцию Из примера 1.5.1 следует, что

где нулевая и бесконечно удаленная точки на Поэтому дивизор

рационально эквивалентен нулю на X по теореме 1.4.

Предложение 1.6. Цикл а рационально эквивалентен нулю тогда и только тогда, когда существуют -мерные подмногообразия проектирующиеся доминантно на такие, что

Доказательство. Пусть где рациональная функция на -мерном подмногообразии Тогда определяет рациональное отображение из морфизм некоторого открытого подмножества Пусть V — замыкание графика этого морфизма в Проекция отображает V бирационально и собственно на Пусть индуцированный морфизм из V в Тогда по предложению и это равно

Отсюда и из предыдущих замечаний следует доказываемое предложение.

Получив в распоряжение более развитую теорию пересечений, мы увидим, что два цикла рационально эквивалентны, если они являются членами семейства циклов, параметризованного любым рациональным или унирациональным многообразием (ср. пример 10.1.7).

Пример -цикл а на X рационально эквивалентен нулю тогда и только тогда, когда существует конечное число нормальных многообразий рациональных функций и собственных морфизмов таких, что (Надо заменить V из предложения 1.6 их нормализациями.)

Пример 1.6.2. Скажем, что цикл на доминантно проектируется на если каждое многообразие входящее в с ненулевым коэффициентом, доминантно проектируется на в этом случае полагаем

Два -цикла а, а на схеме X рационально эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют положительный -цикл на доминантно проектирующийся на и положительный -цикл на X, такие, что

(Если для некоторого положительного выберем положительный цикл так, чтобы цикл был положительным. Запишем и положим

Пример 1.6.3. Пусть X — проективная схема над алгебраически замкнутым полем. Пусть есть симметрическая степень схемы X, точки которой отождествляются с положительными -циклами степени на Два -цикла а, а рационально эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют морфизм для некоторого

и положительный на X, такие, что

(Если X — гладкая кривая, это следует из существования универсального -цикла на В общем случае пропускается через для некоторой гладкой (быть может, несвязной) кривой С, которая конечно отображается в

Этот результат можно обобщить на -циклы, где многообразие заменяется многообразием Чжоу, параметризующим положительные -циклы на X (ср. [Samuel 3], теорема 3).

Даже если положительные, опустить нельзя. (Пусть X — раздутие в точке где С — неособая нерациональная кривая, Пусть — любая точка на исключительном дивизоре, кроме задаваемой прямой

Пример 1.6.4. Пусть категория алгебраических схем над фиксированным полем. Предположим, что все морфизмы в собственные и что для любого проективного морфизма из следует Пусть ковариантный функтор из в категорию абелевых групп. Предположим, что каждое многообразие V из имеет класс Предположим также, что

(i) если сюръективный морфизм многообразий из то

это определяет естественное преобразование ковариантных функторов

(ii) если X — нормальное многообразие из доминантный морфизм, то

В этом случае сохраняется при рациональной эквивалентности и индуцирует естественное преобразование ковариантных функторов Таким образом, А — самая тонкая теория, удовлетворяющая (i) и (ii).

Пример 1.6.5. Группа Гротендика когерентных пучков на X имеет фильтрацию где порождается пучками с носителями размерности Если собственный морфизм, функторы высших прямых образов индуцируют отображение сохраняющее фильтрацию (ср. пример 15.1.5). Поэтому ассоциированные градуированные группы ковариантны для собственных морфизмов. Читатель, знакомый с этой техникой, может пользоваться

вместо Гомоморфизм который переводит в класс структурного пучка удовлетворяет условиям примера 1.6.4. Это дает естественное преобразование . В гл. 18 мы увидим, что оно становится изоморфизмом после тензорного умножения на

Пример 1.6.6. Пусть X — полная схема и

Если основное поле алгебраически замкнуто, а схема X неприводима, то делимая группа. порождается -циклами вида — неособая проективная кривая и Далее, это якобиево многообразие кривой С, а любое абелево многообразие над алгебраически замкнутым полем делимо (ср. [Mumford 4], с. 80).)