8.1. Тонкие пересечения

Многообразие называется неособым, если оно гладкое над основным полем. Для наших целей существенно то (дополнение что диагональное вложение

является регулярным коразмерности

(Глобальным) произведением-пересечением называется композиция

где гомоморфизм Гизина Мы пишем для

Более общо, если X — схема, У — неособое многообразие, и — морфизм, то морфизм графика

является регулярным вложением коразмерности Определим -произведение

по формуле Когда -тождественный морфизм многообразия У, мы получаем предыдущее произведение. Это произведение обозначается также через Если многообразие X тоже не особо, мы пишем вместо

Если использовать тонкие гомоморфизмы Гизина вместо то предыдущие произведения также можно сделать тоньше. Пусть х и у — циклы на неособом многообразии с носителями так что Образуем расслоенный квадрат

Мы имеем Это произведение, также обозначаемое в превращается в соответствующее глобальное произведение. Если где - равноразмерные подсхемы в размерностей , мы записываем тонкое произведение как

Вспоминая процедуру из §6.1, строим произведение так. Нормальное расслоение к диагональному вложению многообразия является касательным расслоением к У. Пусть ограничение на и его нулевое сечение. Нормальный конус является подсхемой в и

т. е. есть пересечение цикла С с нулевым сечением

Аналогично, если даны морфизм неособое многообразие У, цикл на X и цикл у на -произведение имеет каноническое утончение в которое мы также обозначаем

Следующее обобщение охватывает оба предыдущих случая.

Определение 8.1.1. Пусть —морфизм, где -неособое многообразие размерности Пусть -морфизмы схем и Образуем расслоенный квадрат

и положим

Здесь внешнее произведение а — тонкий Гомоморфизм Гизина (§ 6.2). Если мы получаем глобальное произведение, а если предыдущие утончения.

Следующее предложение устанавливает формальные свойства, которых можно ожидать от этих тонких произведений. В этом предложении предполагается, что для каждого упоминаемого многообразия имеется морфизм а также класс

Предложение 8.1.1. (а) (ассоциативность). Пусть даны морфизмы где неособые многообразия. Тогда

(b) (коммутативность). Пусть даны морфизмы где неособые многообразия, Тогда

(c) (формула проекции). Пусть даны морфизмы где неособое многообразие. Пусть собственный морфизм, такой, что пусть -замена базы. Тогда

(d) (согласованность). Пусть дан морфизм где неособое многообразие, и пусть регулярное вложение Тогда

Доказательство. В случае (а) рассмотрим расслоенный квадрат

Каноническое отображение из индуцирует соответствующий расслоенный куб. Тогда, применяя дважды теорему 6.2(c), получаем

Теперь по теоремам 6.4 и 6.2(c)

Точно так же (b) получается применением теоремы коммутативности (§ 6.4) к расслоенному квадрату

и классу

Для доказательства (с) применим теорему к диаграмме

Это дает формулу Применение теоремы к расслоенному квадрату

дает

что завершает доказательство (с).

Для (d) применим теорему 6.4 к диаграмме

Из п. (d) вытекает такое следствие.

Следствие 8.1.1. Пусть -неособое многообразие, -регулярное вложение их — цикл на Тогда

Следствие 8.1.2. Если — морфизм неособых многообразий и — его график, то для циклов на на имеем

В частности, для циклов х, у на неособом многообразии есть произведение-пересечение с диагональю на

Доказательство. Применим следствие 8.1.1 к вложению многообразия

Следствие 8.1.3. Пусть - морфизм, - неособое многообразие и цикл на Тогда

Доказательство. Согласно (с), можно предполагать, что где -многообразие. Тогда так как регулярное вложение.

Определение 8.1.2. Пусть — морфизм из чисто -мерной схемы X в неособое -мерное многообразие Для любого морфизма определим тонкий морфизм Гизина

где по формуле

Предложение 8.1.2. (а) Если -плоский морфизм, то где -индуцированный морфизм

Если морфизм, то совпадает с гомоморфизмом, построенным в § 6.6.

Доказательство, (а) следует из предложения Для доказательства (b) разложим в композицию регулярного вложения и гладкого морфизма : Тогда мы получаем разложение

и все завершается применением предложения

Функториальность этих тонких гомоморфизмов Пазина следует из предложения формула проекции — из предложения коммутирование этих гомоморфизмов Гизина с гомоморфизмами Гизина для л.п.п. морфизмов — из предложения Аналогично все другие формальные свойства л.п.п. морфизмов, приведенные в гл. 6, выполняются для морфизмов в неособые многообразия. Эти результаты будут обсуждаться в гл. 17, поэтому мы не формулируем их здесь подробно.

Пример 8.1.1. Пусть -замкнутая подсхема неособого многообразия причем вложение регулярно. Тогда

для любого (Используем следствие 8.1.1.)

Пример 8.1.2. Оба класса в предложения 8.1.1 равны а также (Морфизм из

является композицией морфизмов, участвующих в доказательстве применяем теорему 6.5.)

Оба класса в равны

Пример 8.1.3. Если в предложении 8.1.1 (d) предполагать, что не регулярное вложение, а плоский морфизм, то

где индуцируется морфизмом

С другой стороны, если предположить, что собственный и V, то

Формула (d) выполнена также, когда —произвольный л.п.п. морфизм, как в § 6.6.

Пример 8.1.4. Если - морфизм и многообразие неособо, то

(Используем пример 6.5.2.)

Пример 8.1.5. Пусть -неособое многообразие и его регулярно вложенные подсхемы. Тогда произведение-пересечение с диагональю это то же самое, что произведение-пересечение (Используем теорему 6.4.)

Пример 8.1.6. Пусть - морфизм, многообразие неособо и векторное расслоение над Тогда для любого

(Используем предложение 6.3.)

Пример 8.1.7. Формула проекции. Пусть -собственный морфизм неособых многообразий, цикл на — цикл на Тогда — индуцированное отображение из В частности,

(Используем предложение

Пример 8.1.8. Если -неособое многообразие и -морфизм, мы имеем расслоенный квадрат

где регулярные вложения одинаковой коразмерности. Если х и у — циклы, как в определении 8.1, то из теоремы следует, что

В этом смысле все пересечения данного параграфа есть пересечения с диагональю.

Пример 8.1.9. Пусть -неособое многообразие и -его -кратное диагональное вложение в Для циклов на положим

Тогда

(См. доказательство предложения

Пример 8.1.10. Пусть X — неособое замкнутое подмногообразие неособого многообразия Тогда для циклов на У

(Произведение-пересечение в первых двух членах формулы берется на У, а в третьем — на В частности, если X — гиперповерхность на подмногообразия в У, не содержащиеся в X, то

где первое пересечение берется на У, а второе — на

Пример 8.1.11. Пусть подмногообразия неособого -мерно-го многообразия У. Если диагональное вложение схемы является регулярным вложением коразмерности то

Это равенство верно также в том случае, когда регулярное вложение коразмерности на открытой части каждой компоненты (ср. предложение 6.2(b)). Последнее выполняется, если неособые многообразия, пересекающиеся трансверсально в общих точках многообразия

Пример 8.1.12. Если X — неособое -мерное многообразие и диагональ, то (следствия 8.1.1 и 6.3) . В частности, степень есть топологическая эйлерова характеристика Если то пример 3.2.13).

Пример 8.1.13. Рассмотрим расслоенный квадрат

где неособые многообразия, замкнутое вложение коразмерности d с нормальным расслоением Тогда для

(Надо использовать теорему 6.3.) Эта формула исправляет лемму 2.2(4) из работы