6.6. Морфизмы локально полного пересечения

Для простоты в этом параграфе предполагается, что все схемы обладают замкнутыми вложениями в схемы, гладкие над основным полем!). Например, годятся любые квазипроективные схемы. Любой морфизм тогда обладает разложением в замкнутое вложение и гладкий морфизм Например, если замкнутое вложение X в гладкую схему можно взять проекция

Морфизм называется морфизмом локально полного пересечения (или л.п.п. морфизмом) коразмерности если разлагается в замкнутое регулярное вложение некоторой (постоянной) коразмерности и следующий за ним гладкий морфизм (постоянной) относительной размерности Это понятие не зависит от разложения (дополнение

Пусть - л.п.п. морфизм коразмерности морфизм; образуем расслоенный квадрат

Определим тонкий гомоморфизм Гизина

следующим образом. Разложим как выше, и образуем расслоенную диаграмму

Тогда гладкий, и мы положим

для В случае мы пишем вместо

Предложение Определение не зависит от разложения

Если одновременно плоский и морфизм, то

Утверждения, приведенные в теоремах 6.2, 6.4 и 6.5 для регулярных вложений, верны для произвольных морфизмов. Формула избыточного пересечения из теоремы 6.3 также верна, если избыточное нормальное расслоение для диаграммы морфизмами определить как

где взяты из такое определение не зависит от выбора разложения.

Доказательство, (а) Пусть другое разложение. Сравним оба разложения с диагональным:

Теперь наше утверждение следует из предложения 6.5(b).

(b) следует из предложения

Обобщения теорем 6.2 и 6.4 очевидны, так как аналогичные утверждения верны для гладких (плоских) морфизмов так же, как и для регулярных вложений. Что касается функториальности, то пусть морфизмы. Выберем разложения, включенные в коммутативную диаграмму

в которой вертикальные морфизмы гладкие, горизонтальные морфизмы — регулярные вложения, а квадрат расслоенный. Например, если как в начале этого параграфа, то можно положить Тогда функториальность можно получить из теоремы 6.5, используя теорему для обхода квадрата.

Проверим теперь корректность определения избыточного расслоения Согласно диагональной конструкции из достаточно сравнить разложение с разложением где гладкие морфизмы, регулярные вложения и Рассмотрим диаграмму

Существуют точные последовательности (дополнение В.7.5)

Так как при обратном образе переходит в то получается канонический изоморфизм

Формула избыточного пересечения следует теперь из теоремы 6.3 и предложения 6.5(b).

Другие результаты о л.п.п. морфизмах см. в § 17.4.