14.7. Исчисление Шуберта

Многообразие Грассмана -плоскостей в обозначаемое отождествляется с Универсальное факторрасслоение над имеет ранг Специальными классами Шуберта называются классы

Для каждого определим класс Шуберта или формулой

Таким образом, Согласно результатам предыдущего раздела, классы Шуберта образуют свободный -базис в В частности, порождается классом Умножение задается формулой Пьери

где суммирование ведется по таким, что

Более общо,

где определяются правилом Литтлвуда — Ричардсона. Если мы имеем теорему двойственности:

Если флаг подпространств с то пусть

Тогда подмногообразие в размерности называемое многообразием Шуберта. Его класс в зависит только от и обозначается для

Формула Джамбелли означает

с Обозначения как и многие другие, взяты у Шуберта.

Все эти результаты являются частными случаями формул предыдущего раздела; сдвиг индексов от компенсирует уменьшение размерности при переходе от аффинных пространств к проективным.

Формулы этого раздела можно получить также прямыми геометрическими рассуждениями, как в книге [Hodge - Pedoe 1]. Со своей стороны тот подход, которому мы следовали, дает их как следствия основной детерминантальной формулы и общих полиномиальных тождеств вместе с обращением в нуль некоторых высших классов Чженя и обратных к ним, которое имеет место на грассманианах.

Пример 14.7.1. Пусть Для каждого класса Шуберта коразмерности к пусть

Тогда а следующим образом выражается через классы Шуберта размерности к:

(Это формальное следствие двойственности.) Если класс дополнительной размерности, то

сумма берется по всем классам Шуберта размерности k.

Пример 14.7.2. Для Шуберт использовал специальные обозначения:

Произведения устроены так:

Отсюда следует, что есть две прямые, пересекающие четыре данные прямые в общем положении.

Пример 14.7.3. Специальные классы Шуберта — это

Если А — подпространство в коразмерности то от представляется специальным многообразием Шуберта

Пример 14.7.4. Если циклы Шуберта дополнительной размерности, то

Пример 14.7.5 (ср. Пусть изоморфизм двойственности из примера

14.6.5. Тогда , где целые числа образуют дополнение к в множестве целых чисел от до (Это следует из формулы Джамбелли и примера 14.6.5 с использованием комбинаторного факта из начала доказательства леммы

Пример Пусть С — приведенная кривая степени Пусть

Тогда гиперповерхность в где как в примере 14.7.2.

(Рассмотрим отношение инцидентности состоящее из пар с проекциями Тогда Так как бирационально отображает на

где фиксированная прямая в Или можно просто воспользоваться примером 14.7.1.)

(b) Если фиксированные кривые в находящиеся в общем положении относительно действия проективной линейной группы, то имеется прямых, пересекающих все эти четыре кривые. (Используем (а) и то, что

Пример Пусть С — неприводимая неплоская кривая в Пусть поверхность в которая есть замыкание множества прямых, пересекающих С в двух или более точках. Тогда

в обозначениях примера 14.7.2

где число двойных точек кривой С (число хорд к С, проходящих через общую точку), степень С (так что в общей плоскости расположено хорд к С).

(b) Пусть даны кривые в общем положении, такие же, как и раньше, Тогда имеется

хорд к С, пересекающих

(c) Пусть С — другая такая кривая с двойными точками и степенью находящаяся в общем положении относительно С. Тогда число общих хорд к равно

Пример 14.7.8. Ранг кривой С в это число касательных к С, пересекающих данную общую прямую (ср. пример 14.4.15). Число касательных к С, пересекающих заданную кривую С степени в общем положении, равно

По поводу применения исчисления Шуберта к задачам о касательных в более высокой размерности см. [Fulton - Kieiman - MacPherson 1].

Пример 14.7.9. Пусть разбиения, Положим (см. пример 14.5.4)

где Тогда двойственен классу

(Если то по примеру где классы, двойственные к

Пример 14.7.10. Общая формула для умножения классов Шуберта дается примером 14.5.3:

Пример 14.7.11 ([Schubert 1], ср. [Hodge - Pedoe 1], XIV.7). Пусть Для -мерного многообразия Шуберта

пусть

(Вложение Плюккера схемы определяется линейным расслоением так что класс гиперплоского сечения.)

где полагается равным нулю, если не выполнены условия (Надо использовать формулу Пьери.)

где (Надо использовать (i) и индукцию по к.)

(Положим Это число равно числу -плоскостей, пересекающих данных -плоскостей в общем положении в Для это число равно

Более общо, Шуберт ([Schubert 3]) доказал, используя формулу Пьери и индукцию по к, что

где сумма берется по всем в определителе полагается равным нулю, если Эквивалентно,

где

Пример 14.7.12. Для многих исчислительных задач пространства параметров можно строить при помощи проективных расслоений, расслоений Грассмана или расслоений флагов. Пусть с универсальным подрасслоением Многообразие гиперплоскостей степени в -плоскостях в можно отождествить с проективным расслоением над

(b) Если подпространство в , многообразие инцидентности

есть расслоение Грассмана над Если А — универсальное линейное подрасслоение в над то есть Если то проекция на бирациональна.

(c) Пространство представляет тройки где гиперповерхность в как в и точка из Подмногообразие троек, удовлетворяющих условиям задается обращением в нуль композиции

где — универсальное линейное расслоение над Образ представляет гиперповерхности пересекающие

(d) Для получаем -мерное многообразие коник в Если X такое же, как в (с), можно вычислить, что

Это согласуется с фактом, что 92 коники пересекают 8 прямых в общем положении (ср. пример 3.2.22).

Пример 14.7.13. Схемы Фано (ср. [Altman - Kleiman 2]). Пусть и векторное пространство размерности Пусть универсальное подрасслоение в

Гиперповерхность степени задается сечением над Так как факторрасслоение расслоения это определяет сечение на схема нулей которого называется схемой Фано -плоскостей в Если то класс в равен

В случае где Степень равна

Для это дает 27, число прямых на кубической поверхности. Для мы получаем 45, степень поверхности Фано прямых на трехмерной кубике.

Пример 14.7.14 (ср. [Hodge - Pedoe 1], XIV. 7, [Altman - Kleiman 2]).

(a) Прямые в лежащие на заданной неособой квадратической гиперповерхности, образуют многообразие Фано коразмерности 3 в с

В самом деле, так как никакая прямая на квадрике не проходит через общую точку, и так как четыре прямые в общем сечении -плоскостью пересекают общую прямую в этой -плоскости. Или иначе, можно построить как схему нулей сечения расслоения как в предыдущем примере; поэтому (пример 14.5.1)

(b) На пересечении двух общих квадрик в лежат 16 прямых.

Пример 14.7.15. Если то -плосхости в которые лежат на данной неособой квадратической гиперповерхности, образуют подсхему коразмерности класс которой в равен

(Как в предыдущем примере, это старший класс Чженя расслоения Если то две общие квадрики в имеют -плоскостей, принадлежащих им обеим.

Пример 14.7.16. Многообразия флагов. Фиксируем и фиксируем точки во, в порождающие Для любого целого от О до пусть обозначает -плоскость, порожденную во, Расположим элементы произвольного множества целых чисел между и в порядке возрастания:

Пусть обозначает соответствующее многообразие Шуберта:

Обозначим через а двойственную последовательность

так что многообразие Шуберта, двойственное к

Для последовательностей пишем если собственное подмножество в а.

Для целых пусть обозначает многообразие флагов, точками которого являются флаги линейных подпространств Рассмотрим гнезда из множеств:

Для каждого такого гнезда пусть

Тогда неприводимое подмногообразие в с

В этой сумме член пропускается, если встречается в предыдущем множестве

Пусть обозначает класс многообразия в Этот класс не зависит от выбора базиса .

(i) (базис). Классы образуют свободный базис для .

(ii) (двойственность). Если то

Поэтому если то

сумма берется по всем размерности k. (Реализуем многообразие флагов как последовательность расслоений Грассмана и проверим, что свободная абелева группа с тем же числом образующих, сколько имеется гнезд Поэтому достаточно доказать Если

или для одного из таких заключение получается с использованием дополнительных флагов, как в примере 14.6.1. Во всех

остальных случаях эквивалентно, если для всех и некоторое неравенство строгое, то См. в работе [Iiori 2] формулу Пьери для многообразия флагов.

Пример 14.7.17. Многообразия инцидентности (Martinelli 2]). Фиксируем и пусть

Это гладкое многообразие размерности Для сто пусть

где такое же, как в предыдущем примере. Это многообразие размерности Классы этих многообразий образуют базис в Класс

двойствен к Чтобы узнать коэффициенты класса достаточно вычислить индексы пересечения со всеми двойственными классами. Этот базис часто более удобен, чем полученный с помощью представления I как грассманова расслоения над (пример 14.7.12(b)) и применения предложения 14.6.5. Этими обозначениями пользовался Мартинелли. (Эти утверждения суть частные случаи предыдущих примеров.)

Пример 14.7.18. Фиксируем и I, как в предыдущем примере. Пусть V — подмногообразие в коразмерности Пусть неособое подмножество в замыкание множества

Тогда V — подмногообразие в I коразмерности Пусть класс в Пусть где линейное подпространство коразмерности k. Тогда

где есть класс V (пример 14.4.15).

Отсюда можно вывести формулу для числа многообразий в -мерном семействе, касающихся заданных многообразий в общем положении (ср. § 10.4). (Для этого надо пересечь обе части с базисом для приведенным в предыдущем примере. Подробности см. [Fulton-Kleiman-MacPherson 1].)