20.5. Высшая К-теория

В этом разделе кратко излагается связь высшей -теории Квиллена с циклами и рациональной эквивалентностью. За подробностями мы отсылаем к базисной статье [Quillen 2], а также работами [Grayson 1,2 и [Gillet 1].

Для коммутативного кольца Квиллен ([Quillen 2]) построил последовательность высших -групп При этом совпадает с группой Гротендика проективных -модулей (или локально

свободных пучков на Если локальное кольцо, совпадает с группой R обратимых элементов из Для схемы X предпучок

определяет пучок на Пучок совпадает с постоянным пучком

Для регулярной схемы X имеются комплексы

где

Здесь сумма берется по замкнутым целостным подсхемам вложение есть высшая -группа поля функций рассматриваемая как постоянный пучок на И В частности, группа циклов коразмерности на X, и

Граничное отображение переводит Поэтому коядро этого отображения есть не что иное, как группа классов рациональной эквивалентности коразмерности на X, определенная в § 1.3.

Герстен предположил, что комплексы точны для любой регулярной схемы Так как пучки вялые, из гипотезы Герстена следует, что совпадает с группой когомологий комплекса Для схемы X конечного типа над полем гипотеза Герстена доказана в работе [Quillen 2]. Это дает следующую теорему, открытую и проверенную в некоторых частных случаях Блохом.

Теорема. Пусть X — регулярная схема конечного типа над полем чистой размерности Тогда

Эта теорема обобщает изоморфизмы Имеются умножения

которые превращают в кольцо. Грэйсон ([Grayson 1]) показал, что если X — гладкая схема над полем, то это умножение совпадает с умножением, определенным в гл. 8; более общую конструкцию см. в работе [Gillet 1].

Для схем X, которые могут быть и особыми, в работе [Gillet 3] построены классы Чженя векторных расслоений в Жилле определяет для любой замкнутой подсхемы

где обозначает когомологии с носителями в Имеется -произведение

Комплекс векторных расслоений над X, точный вне имеет локальные классы Чженя в Эта способность к локализации является одним из преимуществ высшей -теории при реализации классов циклов.

Высшая К-теория проливает также свет на группу классов -циклов степени на неособом проективном многообразии X над алгебраически замкнутым полем. Блох ([Bloch 3)] использовал высшую -теорию для доказательства теоремы Ройтмана из статьи [Ройт-ман 2] о том, что каноническое отображение в многообразие Альбанезе X осуществляет изоморфизм групп кручения порядка, взаимно простого с характеристикой. Используя Блох нашел подтверждения гипотезе о том, что конечномерно для поверхности X с Высшая -теория была также использована в попытках инфинитезимальной вариации групп Чжоу, ср. [Bloch 2] и [Stienstra 1]. По поводу других связей между циклами и К-теорией рекомендуются лекции [Bloch 4]. Некоторые вычисления для особых многообразий можно найти в работах [Collino 2] и [Srinivas 1].