Замечания и литература

Результаты этой главы представляют совместную работу с Р. Лазарсфельдом, ср. [Fulton - Lazarsfeld 3, 4]. Тонкая теорема Безу § 12.3 получена в результате нашей работы с Макферсоном. Кроме того, примеры 12.1.9, 12.1.10, 12.2.2, 12.2.10, 12.3.5 и 12.3.6 были предложены Лазарсфельдом, как и доказательство теоремы 12.1(c). Неравенство (iii) примера 12.3.7 было доказано в работе другими методами.

Частные случаи следствий из § 12.4 и примера 12.4.8 часто появлялись в литературе. Пусть гиперповерхности в собственно пересекающиеся в точке и пусть кратность Тогда

и равенство достигается в том и только том случае, когда ведущие формы не имеют общих нетривиальных решений. На самом деле почти каждое предлагаемое определение кратности пересечения испытывалось этим неравенством. Для см. [Berzolari 1], в общем случае — [Zariski 2], [Perron 1], [Segre В. 7], [Kirby 1], [Northcott 1] и др. Для многообразий большей коразмерности это неравенство было рассмотрено в работах [Severi 9], [Samuel 2], Н.6.2, и с. 420. Используя определение Серра кратности пересечения, Теннисон ([Tennison 1]) показал, что равенство выполняется, если проективные касательные конусы не пересекаются (ср. пример 20.4.3). Тессье ([Teissier 1, 2]) изучал это неравенство для дивизоров на особом многообразии.

Для пересечения двух плоских кривых Нётер ([Noether М. 2]) дал формулу, выражающую разность между индексом пересечения и

произведением кратностей как сумму индексов пересечения в первой инфинитезимальной окрестности (ср. пример 12.4.2). В более высокой размерности собственные прообразы могут иметь избыточные пересечения; в этом случае мы не нашли классических прецедентов для неравенств § 12.4.

Определение обильности векторного расслоения, используемое в

12.1, принадлежит Хартсхорну ([Hartshorne 1]), ср. [Griffiths 1]. Частные случаи теоремы положительности из примера 12.1.7 были доказаны Клейманом, Блохом и Гизекером, Гриффитсом, Усуи и Танго и другими; см. [Griffiths 1, 3] и [Fulton - Lazarsfeld 3] по поводу литературы.