2.2. Линейные расслоения и псевдодивизоры

Пусть А — дивизор Картье на морфизм. Тогда обратный образ дивизора Картье определен только при некоторых предположениях (ср. [EGA], IV.21.4). Например, если X — многообразие и определяется прообразами

локальных уравнений дивизора если же обратный образ дивизора не определен. Здесь мы введем простое обобщение понятия дивизора Картье, не имеющее этого недостатка, но несущее все еще достаточно информации, чтобы можно было определить операцию пересечения на классах циклов.

Определение 2.2.1. Псевдодивизором на схеме X называется тройка где линейное расслоение над замкнутое подмножество в сечение расслоения над нигде не обращающееся в нуль (иначе говоря, это тривиализация ограничения расслоения на называется линейным расслоением, носителем, сечением этого псевдодивизора. Данные определяют тот же самый превдодивизор, если и существует изоморфизм : ограничение которого на переводит Заметим, что псевдодивизор с носителем есть просто класс изоморфных линейных расслоений над

Любой дивизор Картье на схеме X определяет псевдодивизор на X, где линейное расслоение дивизора его носитель, каноническое сечение расслоения (дополнение Скажем, что дивизор Картье представляет псевдодивизор если и существует изоморфизм между который переводит вне Допускается, чтобы было больше например, если все линейно эквивалентные дивизоры Картье представляют один псевдодивизор.

Произвольный псевдодивизор часто обозначается одной буквой и тогда мы пишем для его расслоения, для носителя и для сечения. Это согласуется с обозначениями для дивизоров Картье, за исключением того, что дивизор Картье может иметь меньший носитель, чем представляемый им псевдодивизор.

Лемма 2.2. Если X — многообразие, любой псевдодивизор на X представляется некоторым дивизором Картье на Более того,

(a) если определен однозначно;

(b) если определен с точностью до линейной эквивалентности.

Доказательство. Пусть функции перехода для на некотором открытом аффинном покрытии многообразия Фиксируем индекс и положим Тогда так что данные определяют дивизор Картье В случае это уже дает существование

Пусть теперь Сечение задается набором регулярных функций на таких, что (Функции дают каноническое сечение Так как то существует рациональная функция такая, что для всех а. Пусть Локальными уравнениями для будут так что каноническое сечение соответствует Это доказывает существование в случае

Чтобы получить единственность, предположим, что с локальными уравнениями определяют один псевдодивизор Тогда существует такая, что при всех а. Если на то должны быть согласованы на так что на откуда всюду и

Определение 2.2.2. Если псевдодивизор на -мерном многообразии его носитель, определим класс дивизоров Вейля

следующим образом. Возьмем дивизор Картье, представляющий и пусть класс в ассоциированного дивизора Вейля. Если такой дивизор Картье единствен (лемма 2.2) и тогда определен как -цикл на что отражает тот факт, что есть Если же дивизор Картье определен лишь с точностью до линейной эквивалентности, но ассоциированный с ним дивизор Вейля корректно определен в (§ 2.1).

Если псевдодивизоры на X, сумма есть псевдодивизор

(Это согласуется с суммой дивизоров Картье, за исключением того, что носитель суммы двух дивизоров Картье может быть меньше, чем объединение носителей.) Аналогично положим

Для фиксированного замкнутого множества псевдодивизоры с носителем образуют абелеву группу.

Если морфизм и псевдодивизор на X, то его обратным образом называется псевдодивизор

на Обратный образ функториален, согласован с обратным образом дивизоров Картье, когда последние определены, и переводит суммы в суммы.

Пример 2.2.1. Пусть группа псевдодивизоров на X с носителем Если морфизм, то обратный образ определяет гомоморфизм где Если X есть -мерное многообразие, отображение определяет гомоморфизм