Исследование рядов (3)

147. Напомним, каким образом мы получили ряды (3). Мы пришли к уравнениям следующего вида:

(уравнения (12) п. 127) и нашли из них

где некоторая произвольная постоянная.

Сходится ли ряд (3) абсолютно и равномерно? Если это так, то сумма этого ряда должна оставаться конечной при всех значениях времени. Однако в своей статье, опубликованной в журнале «Bulletin Astronomique» (т. I, стр. 324) [39] я доказал, что сумма членов ряда такого вида не может все время оставаться меньше половины любого из его коэффициентов.

Следовательно, для того чтобы ряд (3) сходился равномерно, необходимо, чтобы абсолютное значение коэффициента

было ограничено [40].

Предположим для определенности, что имеется только две степени свободы и что . Тогда ряд (3) запишется в виде

и абсолютное значение коэффициентов

должно быть ограничено.

Прежде всего ясно, что при рациональных этого быть не может, если только коэффициент Вттг не обращается в нуль всякий раз, когда

Поэтому нам придется заняться случаем, когда иррационально, и особо рассмотреть те знаменатели которые отвечают подходящим дробям разложения числа в непрерывную дробь.

Я утверждаю, что какова бы ни была последовательность чисел можно найти такое иррациональное число (сколь угодно близкое к заданному), что абсолютные значения коэффициентов (4) не будут ограниченными.

Действительно, пусть

— последовательные подходящие дроби числа

Пусть

— некоторая последовательность неограниченно возрастающих положительных чисел. Я утверждаю, что всегда можно найти такое число что

В самом деле, по определению подходящей дроби

где целое положительное число, которое можно выбирать произвольным образом, не изменяя первых подходящих дробей. С другой стороны,

Поэтому мы можем выбрать целое число так, чтобы абсолютная величина была сколь угодно малой, а следовательно, и так, чтобы выполнялось неравенство (5), каковы бы ни были числа

Поскольку единственное условие, наложенное на состоит в том, что эти числа должны неограниченно возрастать, мы можем произвольным образом выбрать первых из них (каково бы ни было и, следовательно, первые подходящих дробей могут быть произвольны. Поэтому число может быть сколь угодно близко к произвольно заданному числу.

С другой стороны, для многих ряд будет сходиться. В самом деле, предположим, что ряд

сходится и, как это бывает обычно, так, что при всех значениях и

Здесь К — некоторое положительное число, а — два положительных числа, меньших единицы.

Выберем где два целых взаимно простых числа, причем не есть точный квадрат. Тогда

откуда

что и доказывает сходимость ряда

Но очевидно, что целые числа можно выбрать так, чтобы было сколь угодно близко к любому заданному числу.

Итак, мы пришли к следующему результату, который я сейчас сформулирую в наиболее общем случае.

Пусть К — произвольное положительное число; положительные числа, меньшие единицы.

Я предполагаю, что выполняется неравенство, аналогичное неравенству (6), и записываю его в виде

такое условие обычно соблюдается.

В этом случае можно, с одной стороны, так подобрать числа

чтобы они сколь угодно мало отличались от наперед заданных чисел и в то же время чтобы ряд не сходился равномерно. С другой стороны ничто не мешает выбрать их и так, чтобы они сколь угодно мало отличались от тех же самых наперед заданных чисел, а ряд сходился равномерно.

Нетрудно понять всю важность этого замечания. В самом деле, наблюдения, какова бы ни была их точность, могут определять средние движения лишь приближенно. Поэтому, оставаясь в рамках этого приближения, можно всегда распорядиться ими так, что ряды будут сходиться.

Интересно выяснить, можно ли сделать ряды сходящимися для постоянных интегрирования изменяющихся в некотором интервале (напомним, что зависят от . В силу только что изложенного это возможно лишь при условии, что ряд

содержит конечное число членов, т. е. при условии, что в разложении

каждая из функций в своем разложении по синусам и косинусам величин, кратных у, будет содержать лишь конечное число членов.

В общем случае это условие не выполняется, и какая-нибудь из функций, например будет представлять собой ряд с бесконечным числом членов. Однако на практике вычисления проводят, ограничиваясь лишь конечным числом членов в разложении функций В самом деле, поскольку ряд сходится, все его члены, за исключением конечного числа их, очень малы. Следовательно, в первом приближении их можно не принимать во внимание.

Вот как производят вычисления. В разложении все члены, за исключением конечного числа, можно считать величинами того же порядка, что и Однако среди них есть такие, которые имеют тот же порядок величины, что и и такие, намного меньшие, которые имеют тот же порядок величины, что и и т. д. В других разложениях также можно найти члены различных порядков.

Поэтому мы можем записать в общем случае

где означает те из членов которые можно рассматривать как величины того же порядка, что и Число таких членов конечно. Ясно, что такой способ разложения оставляет много произвола.

Пусть теперь некоторая величина того же порядка, что и Введем обозначения

Все члены конечны, и мы можем записать

Благодаря этому искусственному приему функция зависит от двух параметров, а содержит лишь конечное число членов. Так как оба параметра представляют собой величины одного порядка, мы положим получим

где Фсодержит лишь конечное число членов.

Этот искусственный прием, на изложении которого я остановился, быть может, несколько дольше, чем следовало, в приложениях проводится чрезвычайно быстро и показывает, что на практике всегда можно общий случай свести к такому, когда функции содержат лишь конечное число членов.